Considere y no intervalo [0, pi2]. Então, nesse caso, podemos definir as funções trigonométricas inversas:
sen^-1 x=arcsen x=y Leftrightarrow sen y=x cos ^-1 x=arccos x=y Leftrightarrow cos y=x
Sabendo disso e usando a derivação implícita, calcule as derivadas das funções:
y=arcsen x;

Passo 1

O enunciado define y=arcsen x no intervalo [0,pi2], ou seja,
sen y = x
Queremos encontrar dydx usando derivação implícita. Vamos lembrar que, ao diferenciar sen y em relação a x, teremos que usar a regra da cadeia.

Passo 2

Partimos de
sen y = x
Derivando ambos os membros em relação a x, obtemos
ddx(sen y) = ddx(x)
Pela regra da cadeia,
cos y ,dydx = 1

Passo 3

Isolamos dydx:
dydx = 1cos y

Passo 4

Para escrever a derivada em função de x, usamos a identidade trigonométrica
cos y = raiz1-sen^2 y
Como sen y = x, temos
cos y = raiz1 - x^2
Logo,
dydx = 1raiz1 - x^2

Resposta

ddxl(arcsen xr) = 1raiz1 - x^2

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