Aula 14, exercício 1

Seja y=f(x). Considere a equação diferencial ordinária
y^{\prime}+\frac{x}{y} e^{-x^{2}}=0 .
(a) Encontre a solução dessa equação com valor inicial f(0)=1.
(b) Explique por que essa equação não é linear.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' + \frac{x}{y} e^{-x^{2}} = 0
e pede duas coisas:
  1. (a) Encontrar a solução que satisfaz a condição inicial f(0)=1.
  2. (b) Explicar por que essa equação não é linear.
Informações relevantes que recebemos:
\text{equação: } y' + \frac{x}{y} e^{-x^{2}} = 0, \qquad \text{condição inicial: } f(0)=1.çãçã

Passo 2

Identificação do método: vamos tentar escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx} = \text{(função de }x\text{ e }y)çã e ver se é separável. Uma equação é separável quando dá para reescrever como
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
ou seja, quando todas as partes que dependem de y ficam multiplicando dy e todas as que dependem de x ficam multiplicando dx. Se for separável, integrarmos cada lado separadamente para achar uma relação entre y e x.
Vou mostrar passo a passo como aplicar isso aqui.

Passo 3

Reescrevendo a equação isolando y':
y' = -\frac{x}{y} e^{-x^{2}}.
Isso significa
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} e^{-x^{2}}.
Agora multiplicamos ambos os lados por y\,dx para separar variáveis:
y\,dy = -x e^{-x^{2}}\,dx.
Viu? Colocamos todos os y do lado esquerdo e todos os x do lado direito — a equação é separável.

Passo 4

Integrando ambos os lados:
\int y\,dy = \int -x e^{-x^{2}}\,dx.
Explico cada integral:
  • À esquerda, \int y\,dy é integral direta de uma potência: \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2} + C_{1}. Aqui C_{1} é constante de integração.
  • À direita, use o fato de que a derivada de e^{-x^{2}} é \dfrac{d}{dx} e^{-x^{2}} = -2x e^{-x^{2}}. Assim
- x e^{-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\,d\big(e^{-x^{2}}\big),
portanto
\int -x e^{-x^{2}}\,dx = \frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C_{2}.
(Juntamos constantes depois.)

Passo 5

Igualando as integrais e reunindo constantes:
\frac{y^{2}}{2} = \frac{1}{2} e^{-x^{2}} + C,
onde C é uma constante (resultado da combinação C_{2}-C_{1}). Multiplicando por 2:
y^{2} = e^{-x^{2}} + C_{*},
onde vou chamar de C_{*} a constante arbitrária final.

Passo 6

Aplicando a condição inicial f(0)=1: quando x=0 tem-se y(0)=1. Substituindo na expressão:
1^{2} = e^{0} + C_{*} \quad\Rightarrow\quad 1 = 1 + C_{*},
logo
C_{*} = 0.

Passo 7

Com C_{*}=0 obtemos
y^{2} = e^{-x^{2}}.
Tomando raiz quadrada:
y = \pm e^{-x^{2}/2}.
A condição inicial y(0)=1 escolhe o sinal positivo (pois e^{0}=1 y(0)=+1), então a solução que satisfaz a condição inicial é
y = e^{-x^{2}/2}.

Passo 8

Agora a parte (b): por que a equação não é linear?
Definição prática: uma equação diferencial de primeira ordem é linear se puder ser escrita na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
onde p(x) e q(x) são funções que dependem somente de x (não de y). Numa equação linear, y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de x — não aparecem produtos não-lineares como y\cdot y' nem termos como 1/y.
No nosso caso a equação original é
y' + \frac{x}{y} e^{-x^{2}} = 0.
O segundo termo \dfrac{x}{y} e^{-x^{2}} depende de y (aparece 1/y), ou seja, não é da forma p(x)\,y. Outra forma de ver a não linearidade: multiplicando por y obtemos
y\,y' + x e^{-x^{2}} = 0,
onde surge o produto y\,y', que é um termo não linear em y. Portanto a equação não pode ser escrita na forma y' + p(x)y = q(x) com p,q apenas funções de x, logo é não linear.

Resposta

y(x)=e^{-x^{2}/2}\nNão é linear porque aparece o termo \dfrac{x}{y}e^{-x^{2}} que depende de y na forma 1/y (ou, equivalentemente, porque ao multiplicar por y surge o termo não linear y\,y'); em uma equação linear de primeira ordem os coeficientes de y e de y' devem depender somente de x.

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