Aula 14, exercício 3

Seja y=f(x). Sejam P e Q duas funções integráveis quaisquer. Considere a equação diferencial ordinária
y^{\prime}+P(x) y=Q(x)
Vamos encontrar a solução dessa equação diferencial ordinária. Para isso, siga os seguintes passos.
(a) Multiplique ambos os membros por \mu(x). Mostre que o membro à esquerda se escreve como a derivada de \mu(x) y se, e somente se, \mu satisfizer a equação diferencial ordinária \mu^{\prime}(x)=P(x) \mu(x).
(b) Utilizando o método de separação de variáveis, determine \mu. Escreva a sua resposta em termos de uma integral indefinida.
(c) A partir da resposta do item anterior, mostre que
y=C e^{-\int P(x) d x}+e^{-\int P(x) d x} \int Q(x) e^{\int P(x) d x} d x
onde C é uma constante que deve ser determinada pelas condições iniciais. Escreva a sua resposta no formato acima, ou seja, em termos de integrais indefinidas.
(d) Como seria possível resolver o mesmo problema utilizando integrais definidas?
(e) Utilize a expressão acima para resolver a equação diferencial ordinária
x y^{\prime}+y=12 x^{2}-4 x
para x>0, com o valor inicial y(1)=1. (Note que resolvemos essa equação em sala!)
Recomendação: Não decore a expressão acima. Como no caso da fórmula de Báskara, o importante é você entender como chegamos a esse resultado, de tal modo que ele se torne autoevidente.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x)
onde y=f(x) é a função incógnita e P e Q são funções integráveis quaisquer. As perguntas pedidas são:
(a) mostrando que, ao multiplicar por \mu(x), o membro esquerdo se escreve como derivada de \mu(x)y se, e só se, \mu satisfizer \mu^{\prime}(x)=P(x)\mu(x);
(b) determinar \mu por separação de variáveis em termos de uma integral indefinida;
(c) a partir de (b) obter a solução geral
y=C e^{-\int P(x)\,dx}+e^{-\int P(x)\,dx}\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx;
(d) explicar como fazer o mesmo usando integrais definidas;
(e) resolver, para x>0 com y(1)=1, a equação
x\,y^{\prime}+y=12x^{2}-4x.
Informações relevantes listadas: a equação original, que P e Q são integráveis (logo suas integrais fazem sentido), e a condição inicial para o item (e). A resolução começa agora.

Passo 2

(a) Vamos multiplicar a equação por uma função \mu(x) e ver quando a parte esquerda se torna uma derivada total. Escrevemos a equação multiplicada:
\mu(x)\,y^{\prime}+\mu(x)P(x)\,y=\mu(x)Q(x).
Recordando a regra do produto (produto de duas funções u(x) e v(x)): a derivada é
(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}.
Aplicando isso a u=\mu(x) e v=y(x) obtemos
(\mu y)^{\prime}=\mu^{\prime}y+\mu y^{\prime}.
Comparando (\mu y)^{\prime} com \mu y^{\prime}+\mu P y, vemos que eles coincidem se, e somente se,
\mu^{\prime}y+\mu y^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu P y.
Cancelando o termo \mu y^{\prime} dos dois lados sobra
\mu^{\prime}y=\mu P y.
Como precisamos que isso valha para todas as y(x) (funções incógnitas), concluímos que é necessário e suficiente que
\mu^{\prime}(x)=P(x)\mu(x).
Portanto (a) está demonstrado: multiplicando por \mu o lado esquerdo será (\mu y)^{\prime} se, e somente se, \mu^{\prime}=P\mu.

Passo 3

(b) Agora vamos resolver a equação de primeira ordem para a integradora \mu:
\mu^{\prime}(x)=P(x)\mu(x).
Esta é uma equação separável. Explico o método de separação de variáveis: isolamos os termos com \mu e os termos com x cada um de um lado e então integramos. Escrevemos
\frac{\mu^{\prime}(x)}{\mu(x)}=P(x).
Identificando \mu^{\prime}(x)=\dfrac{d\mu}{dx}, isso é
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=P(x).
Multiplicamos ambos os lados por dx e integramos:
\int \frac{1}{\mu}\,d\mu = \int P(x)\,dx.
A integral do lado esquerdo é \ln|\mu|. Assim
\ln|\mu(x)|=\int P(x)\,dx + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Exponenciando:
|\mu(x)|=e^{\int P(x)\,dx + C_{1}}=e^{C_{1}}e^{\int P(x)\,dx}.
Chamando C_{0}= \pm e^{C_{1}} (constante não-nula), obtemos
\mu(x)=C_{0} e^{\int P(x)\,dx}.
Observação prática importante: qualquer multiplicador constante C_{0}\neq 0 funciona como fator integrante; costuma-se escolher C_{0}=1 para simplificar, de modo que a escolha padrão é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Explicação do porquê podemos pôr C_{0}=1: no passo seguinte aparecerá uma constante de integração ao integrar a equação final, e um fator multiplicativo constante em \mu apenas multiplica essa constante por uma constante, não mudando a família de soluções finais. Por isso é comum tomar \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.

Passo 4

(c) Usando \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, multiplique a equação original por \mu. Pelo Passo 2 o lado esquerdo fica (\mu y)^{\prime}. Assim obtemos a equação equivalente
(\mu y)^{\prime}=\mu Q.
Agora integramos ambos os lados em relação a x (indefinidamente). A integral da derivada é a própria função mais constante:
\mu(x)\,y(x)=\int \mu(x)Q(x)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Para isolar y dividimos por \mu(x):
y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)Q(x)\,dx + C\right).
Substituindo \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} obtemos
y(x)=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right).
Separando o termo com C podemos escrever também na forma pedida:
y(x)=C\,e^{-\int P(x)\,dx}+e^{-\int P(x)\,dx}\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx.
Explicação das notações: toda integral \int P(x)\,dx ou \int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx é uma integral indefinida; a constante C absorve qualquer constante que viesse dessas integrais. Essa é a fórmula geral do fator integrante.

Passo 5

(d) Método com integrais definidas (útil quando temos condição inicial). Escolha um ponto base x_{0} (por exemplo o ponto onde conhecemos y(x_{0})). Defina o fator integrante pela integral definida
\mu(x)=\exp\left(\int_{x_{0}}^{x} P(t)\,dt\right).
Note que com essa definição \mu(x_{0})=1. Multiplicando a equação por \mu e integrando de x_{0} até x temos
\int_{x_{0}}^{x} (\mu(t)y(t))^{\prime}\,dt=\int_{x_{0}}^{x} \mu(t)Q(t)\,dt.
A integral da derivada dá diferença de valores:
\mu(x)y(x)-\mu(x_{0})y(x_{0})=\int_{x_{0}}^{x} \mu(t)Q(t)\,dt.
Usando \mu(x_{0})=1 obtemos a solução explícita com condição inicial:
y(x)=\mu(x)^{-1}\left(y(x_{0})+\int_{x_{0}}^{x} \mu(t)Q(t)\,dt\right),
ou seja
y(x)=\exp\left(-\int_{x_{0}}^{x} P(t)\,dt\right)\left(y(x_{0})+\int_{x_{0}}^{x} \exp\left(\int_{x_{0}}^{s} P(t)\,dt\right)Q(s)\,ds\right).
Vantagem prática: dispensa manipulação de constantes indefinidas, e já incorpora a condição inicial de forma direta.

Passo 6

(e) Agora aplicamos tudo ao exemplo
x\,y^{\prime}+y=12x^{2}-4x,\qquad x>0,\quad y(1)=1.
Primeiro colocamos na forma padrão y^{\prime}+P(x)y=Q(x) dividindo por x (permitido pois x>0):
y^{\prime}+\frac{1}{x}y=12x-4.
Logo \,P(x)=\dfrac{1}{x} e \,Q(x)=12x-4. Calculamos o fator integrante usando integrais indefinidas:
\mu(x)=\exp\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln x)=x,
onde usamos x>0 para eliminar o valor absoluto. Multiplicando a equação original (na forma dividida) por \mu(x)=x obtemos
(xy)^{\prime}=x(12x-4)=12x^{2}-4x.
Integramos ambos os lados (indefinidamente):
x y=\int(12x^{2}-4x)\,dx =4x^{3}-2x^{2}+C.
Logo
y=4x^{2}-2x+\frac{C}{x}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1=4\cdot 1^{2}-2\cdot 1 + \frac{C}{1}=4-2+C,
portanto C=1-2=-1. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=4x^{2}-2x-\frac{1}{x},\qquad x>0.

Resposta

(a) \mu deve satisfazer \mu^{\prime}(x)=P(x)\mu(x), e então \mu y tem derivada (\mu y)^{\prime}=\mu y^{\prime}+\mu^{\prime}y=\mu y^{\prime}+\mu Py.
(b) \displaystyle \mu(x)=C_{0}e^{\int P(x)\,dx}, e pode-se escolher \displaystyle \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
(c) \displaystyle y(x)=C\,e^{-\int P(x)\,dx}+e^{-\int P(x)\,dx}\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx.
(d) Com integrais definidas, tomando x_{0} como ponto base,
\displaystyle y(x)=\exp\!\Big(-\int_{x_{0}}^{x}P(t)\,dt\Big)\Big(y(x_{0})+\int_{x_{0}}^{x}\exp\!\Big(\int_{x_{0}}^{s}P(t)\,dt\Big)Q(s)\,ds\Big).
(e) Para x>0 e y(1)=1,
\displaystyle y(x)=4x^{2}-2x-\frac{1}{x}.

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