Aula 14, exercício 3
Seja
. Sejam
e
duas funções integráveis quaisquer. Considere a equação diferencial ordinária
Vamos encontrar a solução dessa equação diferencial ordinária. Para isso, siga os seguintes passos.
(a) Multiplique ambos os membros por
. Mostre que o membro à esquerda se escreve como a derivada de
se, e somente se,
satisfizer a equação diferencial ordinária
.
(b) Utilizando o método de separação de variáveis, determine
. Escreva a sua resposta em termos de uma integral indefinida.
(c) A partir da resposta do item anterior, mostre que
onde
é uma constante que deve ser determinada pelas condições iniciais. Escreva a sua resposta no formato acima, ou seja, em termos de integrais indefinidas.
(d) Como seria possível resolver o mesmo problema utilizando integrais definidas?
(e) Utilize a expressão acima para resolver a equação diferencial ordinária
para
, com o valor inicial
. (Note que resolvemos essa equação em sala!)
Recomendação: Não decore a expressão acima. Como no caso da fórmula de Báskara, o importante é você entender como chegamos a esse resultado, de tal modo que ele se torne autoevidente.
(a) Multiplique ambos os membros por
(b) Utilizando o método de separação de variáveis, determine
(c) A partir da resposta do item anterior, mostre que
(d) Como seria possível resolver o mesmo problema utilizando integrais definidas?
(e) Utilize a expressão acima para resolver a equação diferencial ordinária
Recomendação: Não decore a expressão acima. Como no caso da fórmula de Báskara, o importante é você entender como chegamos a esse resultado, de tal modo que ele se torne autoevidente.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
onde
é a função incógnita e
e
são funções integráveis quaisquer. As perguntas pedidas são:
(a) mostrando que, ao multiplicar por , o membro esquerdo se escreve como derivada de
se, e só se,
satisfizer
;
(b) determinar por separação de variáveis em termos de uma integral indefinida;
(c) a partir de (b) obter a solução geral
(a) mostrando que, ao multiplicar por
(b) determinar
(c) a partir de (b) obter a solução geral
(d) explicar como fazer o mesmo usando integrais definidas;
(e) resolver, para com
, a equação
(e) resolver, para
Informações relevantes listadas: a equação original, que
e
são integráveis (logo suas integrais fazem sentido), e a condição inicial para o item (e). A resolução começa agora.
Passo 2
(a) Vamos multiplicar a equação por uma função
e ver quando a parte esquerda se torna uma derivada total. Escrevemos a equação multiplicada:
Recordando a regra do produto (produto de duas funções
e
): a derivada é
Aplicando isso a
e
obtemos
Comparando
com
, vemos que eles coincidem se, e somente se,
Cancelando o termo
dos dois lados sobra
Como precisamos que isso valha para todas as
(funções incógnitas), concluímos que é necessário e suficiente que
Portanto (a) está demonstrado: multiplicando por
o lado esquerdo será
se, e somente se,
.
Passo 3
(b) Agora vamos resolver a equação de primeira ordem para a integradora
:
Esta é uma equação separável. Explico o método de separação de variáveis: isolamos os termos com
e os termos com
cada um de um lado e então integramos. Escrevemos
Identificando
, isso é
Multiplicamos ambos os lados por
e integramos:
A integral do lado esquerdo é
. Assim
onde
é constante de integração. Exponenciando:
Chamando
(constante não-nula), obtemos
Observação prática importante: qualquer multiplicador constante
funciona como fator integrante; costuma-se escolher
para simplificar, de modo que a escolha padrão é
Explicação do porquê podemos pôr
: no passo seguinte aparecerá uma constante de integração ao integrar a equação final, e um fator multiplicativo constante em
apenas multiplica essa constante por uma constante, não mudando a família de soluções finais. Por isso é comum tomar
.
Passo 4
(c) Usando
, multiplique a equação original por
. Pelo Passo 2 o lado esquerdo fica
. Assim obtemos a equação equivalente
Agora integramos ambos os lados em relação a
(indefinidamente). A integral da derivada é a própria função mais constante:
onde
é constante de integração. Para isolar
dividimos por
:
Substituindo
obtemos
Separando o termo com
podemos escrever também na forma pedida:
Explicação das notações: toda integral
ou
é uma integral indefinida; a constante
absorve qualquer constante que viesse dessas integrais. Essa é a fórmula geral do fator integrante.
Passo 5
(d) Método com integrais definidas (útil quando temos condição inicial). Escolha um ponto base
(por exemplo o ponto onde conhecemos
). Defina o fator integrante pela integral definida
Note que com essa definição
. Multiplicando a equação por
e integrando de
até
temos
A integral da derivada dá diferença de valores:
Usando
obtemos a solução explícita com condição inicial:
ou seja
Vantagem prática: dispensa manipulação de constantes indefinidas, e já incorpora a condição inicial de forma direta.
Passo 6
(e) Agora aplicamos tudo ao exemplo
Primeiro colocamos na forma padrão
dividindo por
(permitido pois
):
Logo
e
. Calculamos o fator integrante usando integrais indefinidas:
onde usamos
para eliminar o valor absoluto. Multiplicando a equação original (na forma dividida) por
obtemos
Integramos ambos os lados (indefinidamente):
Logo
Agora aplicamos a condição inicial
:
portanto
. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Resposta
(a)
deve satisfazer
, e então
tem derivada
.
(b) , e pode-se escolher
.
(c)
(d) Com integrais definidas, tomando como ponto base,
(b)
(c)
(d) Com integrais definidas, tomando
(e) Para
e
,