O aumento da densidade de trilhas em discos rígidos de computador torna necessária a elaboração cuidadosa do controle do posicionamento da cabeça do leitor neste tipo de memória. A função de transferência em malha aberta é
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{K}{(s+1)^{2}} .
Represente a resposta em frequência, por meio do diagrama de Bode, para este sistema quando K=10. Calcule a fase e a magnitude em \omega=0,0.5,1,2,4, e \infty.

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de Bode (magnitude e fase) da função em malha aberta
L(s)=\frac{K}{(s+1)^{2}}
quando K=10, e quer os valores de magnitude e fase em \omega=0,\;0,5,\;1,\;2,\;4 e \infty. Vamos precisar converter s=j\omega, obter as expressões gerais de |L(j\omega)| e \angle L(j\omega) e depois avaliar nos diversos \omega.

Passo 2

Substituindo s=j\omega em L(s), temos
L(j\omega)=\frac{10}{(1+j\omega)^{2}}.

Passo 3

Para todo \omega, a magnitude e a fase são
|L(j\omega)|=\frac{10}{\bigl|1+j\omega\bigr|^{2}} =\frac{10}{(1+\omega^{2})},
\angle L(j\omega)=-2\arg(1+j\omega) =-2\arctan(\omega).

Passo 4

Vamos avaliar |L(j\omega)| (em valor absoluto e depois em dB) e \angle L(j\omega) (em graus):
  • Para \omega=0:
    |L(j0)|=10/(1+0)=10, logo em dB 20\log_{10}(10)=20\text{ dB}, e \angle L(j0)=-2\arctan(0)=0^\circ.
  • Para \omega=0,5:
    |L(j0{,}5)|=10/(1+0{,}5^{2})=10/1{,}25=8, logo em dB 20\log_{10}(8)\approx18{,}06\text{ dB}, e
    \angle L(j0{,}5)=-2\arctan(0{,}5)\approx-2\cdot26{,}565^\circ=-53{,}13^\circ.
  • Para \omega=1:
    |L(j1)|=10/(1+1)=5, em dB 20\log_{10}(5)\approx13{,}98\text{ dB}, e
    \angle L(j1)=-2\arctan(1)=-2\cdot45^\circ=-90^\circ.
  • Para \omega=2:
    |L(j2)|=10/(1+4)=2, em dB 20\log_{10}(2)\approx6{,}02\text{ dB}, e
    \angle L(j2)=-2\arctan(2)\approx-2\cdot63{,}434^\circ=-126{,}87^\circ.
  • Para \omega=4:
    |L(j4)|=10/(1+16)=10/17\approx0{,}5882, em dB 20\log_{10}(0{,}5882)\approx-4{,}61\text{ dB}, e
    \angle L(j4)=-2\arctan(4)\approx-2\cdot75{,}964^\circ=-151{,}93^\circ.
  • Para \omega\to\infty:
    |L(j\omega)|\to0 (ou seja -\infty\text{ dB}) e
    \angle L(j\omega)\to-2\cdot90^\circ=-180^\circ.

Resposta

\omega=0: |L| =10 (20 dB), ∠L =0\circ\omega=0,5: |L| =8 (18,06 dB), ∠L ≈ – 53,13\circ\omega=1: |L| =5 (13,98 dB), ∠L = – 90\circ\omega=2: |L| =2 (6,02 dB), ∠L ≈ – 126,87\circ\omega=4: |L| \approx 0,5882 (–4,61 dB), ∠L ≈ – 151,93\circ\omega\to\infty: |L| \to 0 (–∞ dB), ∠L → – 180\circ

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