Uma mão robótica operada por tendões pode ser implementada usando um atuador pneumático. O atuador pode ser representado por
G(s)=\frac{5000}{(s+70)(s+500)}
Represente a resposta em frequência de G(j \omega). Apresente o diagrama de Bode. Mostre que a magnitude de G(j \omega) é -17 dB em \omega=10 \mathrm{e}-27.1 \mathrm{~dB} em \omega=200. Mostre também que a fase é -138.7^{\circ} \mathrm{em} \omega=700.

Passo 1

O enunciado fornece o modelo do atuador pneumático
G(s)=\frac{5000}{(s+70)(s+500)}
e pede a resposta em frequência G(j\omega), o diagrama de Bode, a magnitude em \omega=10 e \omega=200, e a fase em \omega=700. O conteúdo envolve análise de sistemas LTI no domínio da frequência: substituição s=j\omega, cálculo de |G(j\omega)| em dB, \angle G(j\omega) em graus e esboço das assíntotas do Bode.

Passo 2

Substituindo s=j\omega em G(s), obtemos
G(j\omega)=\frac{5000}{(j\omega+70)(j\omega+500)}.

Passo 3

A magnitude em módulo e em dB é
|G(j\omega)|=\frac{5000}{\sqrt{\omega^2+70^2}\,\sqrt{\omega^2+500^2}}
20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}(5000)\;-\;10\log_{10}(\omega^2+70^2)\;-\;10\log_{10}(\omega^2+500^2).

Passo 4

Avaliação da magnitude em \omega=10 e \omega=200:
Para \omega=10:
20\log_{10}(5000)=73,98,\quad -10\log_{10}(10^2+70^2)=-36,99,\quad -10\log_{10}(10^2+500^2)=-53,98,
logo
20\log_{10}|G(j\,10)|=73,98-36,99-53,98\approx -16,99\\ \text{dB}\\ (\simeq -17\\ \text{dB}).
Para \omega=200:
-10\log_{10}(200^2+70^2)=-46,52,\quad -10\log_{10}(200^2+500^2)=-54,62,
logo
20\log_{10}|G(j\,200)|=73,98-46,52-54,62\approx -27,16\\ \text{dB}\\ (\simeq -27,1\\ \text{dB}).

Passo 5

Esboço assintótico do diagrama de Bode:
– Frequências de canto em \omega_1=70 rad/s e \omega_2=500 rad/s.
– Magnitude assintótica:
• Para \omega\ll70: nível plano em -17 dB.
• De 70 a 500: declive de -20 dB/década.
• Acima de 500: declive de -40 dB/década.
– Fase assintótica:
\omega\ll70: \approx0^\circ.
• Entre 70 e 500: aproximando-se de -90^\circ.
\omega\gg500: aproximando-se de -180^\circ.

Passo 6

A fase exata é
\angle G(j\omega)=-\Bigl[\arctan\Bigl(\frac{\omega}{70}\Bigr)+\arctan\Bigl(\frac{\omega}{500}\Bigr)\Bigr].

Passo 7

Em \omega=700:
\arctan\Bigl(\tfrac{700}{70}\Bigr)=\arctan(10)\approx84,29^\circ,\quad \arctan\Bigl(\tfrac{700}{500}\Bigr)=\arctan(1,4)\approx54,46^\circ,
logo
\angle G(j\,700)=-\bigl(84,29^\circ+54,46^\circ\bigr)\approx-138,75^\circ\\ (\simeq -138,7^\circ).

Resposta

Em \omega=10: \;20\log_{10}|G(j10)|\approx -17 dB
Em \omega=200: \;20\log_{10}|G(j200)|\approx -27{,}1 dB
Em \omega=700: \;\angle G(j700)\approx -138{,}7^\circ

Exercícios relacionados