Um braço robótico possui uma função de transferência em malha aberta de controle conjunto
L(s)=G_{c}(s) G(s)=\frac{100(s+0.1)}{s(s+1)(s+10)} .
Mostre que a frequência é \omega=11.7 \mathrm{rad} / \mathrm{s} quando o ângulo de fase de L(j \omega) é -135^{\circ}. Encontre a magnitude de L(j \omega) em \omega=11.7 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Em seguida, apresente o diagrama de Bode.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência em malha aberta
L(s)=G_{c}(s)\,G(s)=\frac{100\,(s+0.1)}{s\,(s+1)\,(s+10)}
e pede: (a) mostrar que existe \omega=11{,}7\\ \mathrm{rad/s} tal que o ângulo de fase de L(j\omega) é -135^\circ; (b) calcular a magnitude \bigl|L(j\,11{,}7)\bigr|; (c) apresentar o diagrama de Bode.
Para resolver vamos usar:
  • a fórmula do argumento de produtos e quocientes;
  • arctangentes para cada termo (j\omega+a);
  • cálculo numérico por tentativa ou método iterativo;
  • expressões assintóticas para o Bode.

Passo 2

O ângulo de fase de
L(j\omega) =100\;\frac{j\omega+0.1}{j\omega\,(j\omega+1)\,(j\omega+10)}
é
\arg L(j\omega) =\underbrace{\arg 100}_{0} +\arg(j\omega+0.1) -\bigl[\arg(j\omega)+\arg(j\omega+1)+\arg(j\omega+10)\bigr].
Como
\arg(j\omega+ a)=\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{a}\bigr), \quad \arg(j\omega)=+90^\circ,
segue
\arg L(j\omega) =\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{0.1}\bigr) -\Bigl[90^\circ+\arctan(\omega)+\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{10}\bigr)\Bigr].
Queremos \arg L(j\omega)=-135^\circ, isto é,
\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{0.1}\bigr) -\arctan(\omega) -\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{10}\bigr) = -135^\circ+90^\circ=-45^\circ.
Fazendo solução numérica (por tentativa) obtemos
\omega\approx11{,}7\\ \mathrm{rad/s}
pois \arctan(117)\approx89{,}5^\circ, \arctan(11{,}7)\approx85{,}1^\circ, \arctan(1{,}17)\approx49{,}0^\circ
e
89{,}5^\circ-85{,}1^\circ-49{,}0^\circ\approx-44{,}6^\circ\approx-45^\circ.

Passo 3

Agora calculamos a magnitude em \omega=11{,}7.
|L(j\omega)| =\frac{100\,\bigl|j\omega+0.1\bigr|}{\bigl|j\omega\bigr|\;\bigl|j\omega+1\bigr|\;\bigl|j\omega+10\bigr|} =\frac{100\,\sqrt{\omega^2+0.1^2}} {\omega\;\sqrt{\omega^2+1^2}\;\sqrt{\omega^2+10^2}}.
Substituindo \omega=11{,}7:
\sqrt{11{,}7^2+0.1^2}\approx11{,}7,\quad \sqrt{11{,}7^2+1}\approx11{,}75,\quad \sqrt{11{,}7^2+100}\approx15{,}39,
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|L(j\,11{,}7)|\approx \frac{100\times11{,}7}{11{,}7\times11{,}75\times15{,}39} =\frac{100}{11{,}75\times15{,}39}\approx0{,}55
e em decibéis
20\log_{10}(0{,}55)\approx-5{,}15\\ \mathrm{dB}.

Passo 4

Esboço assintótico do diagrama de Bode de L(s):
• Pólo em origem s=0: inicia com -20\\ \mathrm{dB/dec} para \omega<0{,}1.
• Zero em \omega=0{,}1: soma +20\\ \mathrm{dB/dec}, tornando a inclinação 0.
• Pólo em \omega=1: soma -20\\ \mathrm{dB/dec}, passando a -20.
• Pólo em \omega=10: soma -20\\ \mathrm{dB/dec}, passando a -40.
Pontos de ganho aproximado:
– em \omega=0{,}1, |L|\approx22{,}9\\ \mathrm{dB};
– em \omega=1, |L|\approx17{,}0\\ \mathrm{dB};
– em \omega=10, segue declinando a -23{,}0\\ \mathrm{dB} em -40\\ \mathrm{dB/dec}.
O diagrama de fase parte de 0^\circ, passa por -45^\circ em torno de \omega\approx0{,}1, chega a -135^\circ em \omega\approx11{,}7, e tende a -270^\circ para altas frequências.

Resposta

\omega=11{,}7\\ \mathrm{rad/s}, \bigl|L(j\,11{,}7)\bigr|\approx0{,}55 (≈ -5{,}15\\ \mathrm{dB}). O diagrama de Bode é o esboço assintótico descrito no Passo 4.

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