Mostre que a frequência é \omega=11.7 \mathrm{rad} / \mathrm{s} quando o ângulo de fase de L(j \omega) é -135^{\circ}. Encontre a magnitude de L(j \omega) em \omega=11.7 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Em seguida, apresente o diagrama de Bode.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência em malha aberta
e pede: (a) mostrar que existe \omega=11{,}7\\ \mathrm{rad/s} tal que o ângulo de fase de L(j\omega) é -135^\circ; (b) calcular a magnitude \bigl|L(j\,11{,}7)\bigr|; (c) apresentar o diagrama de Bode.
Para resolver vamos usar:
a fórmula do argumento de produtos e quocientes;
arctangentes para cada termo (j\omega+a);
cálculo numérico por tentativa ou método iterativo;
Esboço assintótico do diagrama de Bode de L(s):
• Pólo em origem s=0: inicia com -20\\ \mathrm{dB/dec} para \omega<0{,}1.
• Zero em \omega=0{,}1: soma +20\\ \mathrm{dB/dec}, tornando a inclinação 0.
• Pólo em \omega=1: soma -20\\ \mathrm{dB/dec}, passando a -20.
• Pólo em \omega=10: soma -20\\ \mathrm{dB/dec}, passando a -40.
Pontos de ganho aproximado:
– em \omega=0{,}1, |L|\approx22{,}9\\ \mathrm{dB};
– em \omega=1, |L|\approx17{,}0\\ \mathrm{dB};
– em \omega=10, segue declinando a -23{,}0\\ \mathrm{dB} em -40\\ \mathrm{dB/dec}.
O diagrama de fase parte de 0^\circ, passa por -45^\circ em torno de \omega\approx0{,}1, chega a -135^\circ em \omega\approx11{,}7, e tende a -270^\circ para altas frequências.
Resposta
\omega=11{,}7\\ \mathrm{rad/s}, \bigl|L(j\,11{,}7)\bigr|\approx0{,}55 (≈-5{,}15\\ \mathrm{dB}). O diagrama de Bode é o esboço assintótico descrito no Passo 4.