Se 
  é auto-adjunto, prove que, para todo 
 , o operador 
  também é auto-adjunto. Se 
 , prove que 
  0 . Se 
  e 
  é invertível, prove que 
 .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador 
  que é auto-adjunto. Nosso objetivo é mostrar três coisas:
- Para qualquer operador 
em , o operador também é auto-adjunto.  - Se 
(ou seja, é semi-definido positivo), então .  - Se 
(positivo definido) e é invertível, então .  
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um operador ser auto-adjunto, como funciona a operação de adjunto (
 ), e as propriedades de operadores positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um operador auto-adjunto. Um operador 
  é auto-adjunto se ele é igual ao seu adjunto, ou seja:
Aqui, 
  representa o operador adjunto de 
 . O adjunto tem a propriedade de que para todos os vetores 
  e 
  em 
 :
Passo 3
Agora, queremos mostrar que 
  é auto-adjunto. Para isso, precisamos verificar se:
Vamos usar algumas propriedades dos adjuntos:
- O adjunto do produto de operadores é o produto dos adjuntos na ordem inversa.
 - O adjunto do adjunto é o operador original (
).  
Então,
Passo 4
Sabemos que 
  é auto-adjunto, então 
 . Substituindo isso na expressão anterior:
Portanto, 
  é igual ao seu adjunto, ou seja, é auto-adjunto.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte: se 
 , queremos mostrar que 
 .
Um operador 
  é dito semi-definido positivo (
 ) se para todo vetor 
  em 
 :
Passo 6
Vamos calcular 
  para um vetor qualquer 
 :
Isso ocorre porque 
  é o adjunto de 
 , então 
 .
Passo 7
Como 
 , sabemos que 
  para todo 
 . Portanto:
Isso significa que 
  também é semi-definido positivo, ou seja, 
 .
Passo 8
Por fim, vamos mostrar que se 
  (ou seja, 
  é positivo definido) e 
  é invertível, então 
 .
Um operador 
  é positivo definido (
 ) se para todo vetor 
  em 
 :
Passo 9
Como 
  é invertível, para qualquer 
 , 
 . Vamos calcular novamente:
Como 
  e 
 :
Passo 10
Portanto, para todo 
 :
Isso mostra que 
  é positivo definido, ou seja, 
 .
Resposta
Com isso, provamos que:
- 
é auto-adjunto.  - Se 
, então .  - Se 
e é invertível, então .