Em cada um dos seguintes exercícios, determine se 
  é um subespaço vetorial de 
 . Represente geometricamente.
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto 
 . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto 
  é um subespaço vetorial de 
  e também representar isso geometricamente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para verificar se um conjunto é ou não um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de 
  é um conjunto que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
 - É fechado sob adição vetorial.
 - É fechado sob multiplicação por escalar.
 
Então, para 
  ser um subespaço, ele precisa cumprir essas três condições.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se 
  contém o vetor zero. O vetor zero em 
  é 
 . Substituindo na equação 
 :
Isso é verdadeiro, então 
  contém o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos ver se 
  é fechado sob adição vetorial. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em 
 , a soma deles também deve estar em 
 . Vamos supor que temos dois vetores 
  e 
  em 
 . Então:
Somando os dois vetores:
A gente vê que 
 , então a soma também satisfaz a equação 
 . Logo, 
  é fechado sob adição.
Passo 5
Por último, vamos checar se 
  é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se a gente multiplica um vetor de 
  por qualquer número real 
 , o resultado também deve estar em 
 . Pegando um vetor 
  em 
 , temos:
Multiplicando por 
 :
Aqui, 
  se transforma em 
  mesmo após a multiplicação, então o vetor resultante também está em 
 . Portanto, 
  é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Como 
  satisfaz todas as três condições (contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar), podemos concluir que 
  é um subespaço vetorial de 
 .
Passo 7
Agora, para representar geometricamente, 
  é a reta que passa pela origem (porque contém o vetor zero) e tem inclinação -3. Isso significa que para cada aumento de 1 na coordenada 
 , a coordenada 
  diminui em 3 unidades. No plano cartesiano, essa reta desce rapidamente da esquerda para a direita.
Resposta
Sim, 
  é um subespaço vetorial de 
 . Geometricamente, 
  é a reta que passa pela origem com inclinação -3 no plano cartesiano.