Um automóvel viaja em uma estrada reta por 40 km a 30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Depois, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (a) Qual é a velocidade média do carro durante essa viagem de 80 km ? (suponha que ele se move no sentido positivo de x ) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) trace o gráfico x versus t e indique como encontrar a velocidade média no gráfico.

Passo 1

O enunciado dá um movimento retilíneo em um mesmo sentido (positivo de x) com duas etapas iguais em distância:
  • Percorre \,40\\ \text{km}\, à velocidade \,30\\ \text{km/h}\,.
  • Depois percorre mais \,40\\ \text{km}\, à velocidade \,60\\ \text{km/h}\,.
O que é pedido:
(a) a velocidade média do carro durante a viagem de 80\\ \text{km} (velocidade vetorial média, considerando sentido positivo de x);
(b) a velocidade escalar média (speed médio, sem considerar sinal);
(c) traçar o gráfico x versus t e indicar como encontrar a velocidade média no gráfico.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar bem direitinho os conceitos e fórmulas que vamos usar.
Definição de velocidade média (vetorial):
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t},
onde \Delta x é o deslocamento (posição final menos inicial) e \Delta t é o intervalo de tempo total. Aqui o deslocamento tem sinal (positivo se for no sentido positivo de x).
Definição de velocidade escalar média (speed médio):
\bar{s}=\frac{\text{distância total percorrida}}{\Delta t}.â
Note que a distância total percorrida é sempre positiva e conta o caminho percorrido, não apenas o deslocamento.
Primeiro calculemos os tempos gastos em cada trecho. Tempo é distância sobre velocidade. Para o primeiro trecho:
t_1=\frac{40\\ \text{km}}{30\\ \text{km/h}}.
Faço a divisão simplificando:
t_1=\frac{40}{30}\\ \text{h}=\frac{4}{3}\\ \text{h}.
Para o segundo trecho:
t_2=\frac{40\\ \text{km}}{60\\ \text{km/h}}=\frac{40}{60}\\ \text{h}=\frac{2}{3}\\ \text{h}.

Passo 3

Calculemos o tempo total e o deslocamento total.
Tempo total:
\Delta t = t_1+t_2=\frac{4}{3}\\ \text{h}+\frac{2}{3}\\ \text{h}=2\\ \text{h}.
Deslocamento total (como ele continua no mesmo sentido positivo): a posição final menos inicial é simplesmente a soma das distâncias, então
\Delta x=40\\ \text{km}+40\\ \text{km}=80\\ \text{km}.
Agora aplicamos a fórmula da velocidade média vetorial:
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{80\\ \text{km}}{2\\ \text{h}}=40\\ \text{km/h}.
Expliquei passo a passo: \Delta x é positivo porque todo o percurso foi no sentido positivo; dividir por \Delta t dá a velocidade média.

Passo 4

Agora a velocidade escalar média (speed médio). Pela definição:
\bar{s}=\frac{\text{distância total}}{\Delta t}.â
Aqui a distância total percorrida é 40\\ \text{km}+40\\ \text{km}=80\\ \text{km}, igual ao deslocamento porque não houve volta nem movimento no sentido contrário. Logo
\bar{s}=\frac{80\\ \text{km}}{2\\ \text{h}}=40\\ \text{km/h}.
Observação didática: em geral \bar{v} e \bar{s} podem diferir se houver mudança de sentido (por exemplo ir e voltar). Neste problema são iguais porque o movimento foi sempre no mesmo sentido e não houve volta.

Passo 5

Vamos construir o gráfico x versus t e explicar como encontrar a velocidade média nele.
  1. Eixos: eixo horizontal é t (horas), eixo vertical é x (quilômetros). Ponto inicial: supondo x(0)=0, o movimento começa em (0,0).
  2. Primeiro segmento (velocidade \,30\\ \text{km/h}\, por t_1=\tfrac{4}{3}\\ \text{h}): a posição cresce linearmente com inclinação igual à velocidade. Em t=\tfrac{4}{3}\\ \text{h} tem-se x=40\\ \text{km}. Então o primeiro trecho do gráfico é uma reta que liga (0,0) a \bigl(\tfrac{4}{3},\,40\bigr) com inclinação 30\\ \text{km/h}.
  3. Segundo segmento (velocidade \,60\\ \text{km/h}\, por t_2=\tfrac{2}{3}\\ \text{h}): liga \bigl(\tfrac{4}{3},\,40\bigr) a \bigl(2,\,80\bigr) (porque \tfrac{4}{3}+\tfrac{2}{3}=2\\ \text{h} e 40+40=80\\ \text{km}). Esse trecho é outra reta com inclinação 60\\ \text{km/h}.
Portanto o gráfico é piecewise-linear com dois segmentos: primeiro com declive menor, depois mais íngreme.
Como encontrar a velocidade média no gráfico: a velocidade média vetorial \bar{v} é a inclinação da reta secante que liga o ponto inicial ao ponto final do intervalo de tempo considerado. No gráfico, a secante que liga (0,0) a (2,80) tem inclinação
\text{slope}=\frac{80-0}{2-0}=\frac{80}{2}=40\\ \text{km/h},
que é exatamente \bar{v}. Em geral, escolha os pontos (t_1,x(t_1)) e (t_2,x(t_2)) e faça \dfrac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1} para obter a velocidade média no intervalo [t_1,t_2].

Passo 6

Resumo e dica para prova (bem prático): quando tiver trechos com velocidades diferentes, primeiro calcule os tempos de cada trecho via t=\dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}}â, some os tempos para ter \Delta t, some as distâncias para ter a distância total (e some vetorialmente as posições para o deslocamento). Depois aplique
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t},\qquad \bar{s}=\frac{\text{distância total}}{\Delta t}.â
No gráfico x vs t a velocidade média é sempre a inclinação da secante entre os extremos do intervalo.

Resposta

(a) 40\\ \text{km/h}
(b) 40\\ \text{km/h}
(c) O gráfico x vs t é composto por uma reta de (0,0) a \bigl(\tfrac{4}{3},40\bigr) com inclinação 30\\ \text{km/h} e outra reta de \bigl(\tfrac{4}{3},40\bigr) a (2,80) com inclinação 60\\ \text{km/h}. A velocidade média é a inclinação da secante que liga (0,0) a (2,80), ou seja \dfrac{80-0}{2-0}=40\\ \text{km/h}.

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