Um automóvel viaja em uma estrada reta por 40 km a
. Depois, continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a
. (a) Qual é a velocidade média do carro durante essa viagem de 80 km ? (suponha que ele se move no sentido positivo de x ) (b) Qual é a velocidade escalar média? (c) trace o gráfico x versus t e indique como encontrar a velocidade média no gráfico.
Passo 1
O enunciado dá um movimento retilíneo em um mesmo sentido (positivo de
) com duas etapas iguais em distância:
- Percorre
à velocidade . - Depois percorre mais
à velocidade .
O que é pedido:
(a) a velocidade média do carro durante a viagem de (velocidade vetorial média, considerando sentido positivo de
);
(b) a velocidade escalar média (speed médio, sem considerar sinal);
(c) traçar o gráfico versus
e indicar como encontrar a velocidade média no gráfico.
(a) a velocidade média do carro durante a viagem de
(b) a velocidade escalar média (speed médio, sem considerar sinal);
(c) traçar o gráfico
Passo 2
Vamos lembrar e explicar bem direitinho os conceitos e fórmulas que vamos usar.
Definição de velocidade média (vetorial):
onde
é o deslocamento (posição final menos inicial) e
é o intervalo de tempo total. Aqui o deslocamento tem sinal (positivo se for no sentido positivo de
).
Definição de velocidade escalar média (speed médio):
Note que a distância total percorrida é sempre positiva e conta o caminho percorrido, não apenas o deslocamento.
Primeiro calculemos os tempos gastos em cada trecho. Tempo é distância sobre velocidade. Para o primeiro trecho:
Faço a divisão simplificando:
Para o segundo trecho:
Passo 3
Calculemos o tempo total e o deslocamento total.
Tempo total:
Deslocamento total (como ele continua no mesmo sentido positivo): a posição final menos inicial é simplesmente a soma das distâncias, então
Agora aplicamos a fórmula da velocidade média vetorial:
Expliquei passo a passo:
é positivo porque todo o percurso foi no sentido positivo; dividir por
dá a velocidade média.
Passo 4
Agora a velocidade escalar média (speed médio). Pela definição:
Aqui a distância total percorrida é
, igual ao deslocamento porque não houve volta nem movimento no sentido contrário. Logo
Observação didática: em geral
e
podem diferir se houver mudança de sentido (por exemplo ir e voltar). Neste problema são iguais porque o movimento foi sempre no mesmo sentido e não houve volta.
Passo 5
Vamos construir o gráfico
versus
e explicar como encontrar a velocidade média nele.
-
Eixos: eixo horizontal é
(horas), eixo vertical é (quilômetros). Ponto inicial: supondo , o movimento começa em . -
Primeiro segmento (velocidade
por ): a posição cresce linearmente com inclinação igual à velocidade. Em tem-se . Então o primeiro trecho do gráfico é uma reta que liga a com inclinação . -
Segundo segmento (velocidade
por ): liga a (porque e ). Esse trecho é outra reta com inclinação .
Portanto o gráfico é piecewise-linear com dois segmentos: primeiro com declive menor, depois mais íngreme.
Como encontrar a velocidade média no gráfico: a velocidade média vetorial
é a inclinação da reta secante que liga o ponto inicial ao ponto final do intervalo de tempo considerado. No gráfico, a secante que liga
a
tem inclinação
que é exatamente
. Em geral, escolha os pontos
e
e faça
para obter a velocidade média no intervalo
.
Passo 6
Resumo e dica para prova (bem prático): quando tiver trechos com velocidades diferentes, primeiro calcule os tempos de cada trecho via
, some os tempos para ter
, some as distâncias para ter a distância total (e some vetorialmente as posições para o deslocamento). Depois aplique
No gráfico
vs
a velocidade média é sempre a inclinação da secante entre os extremos do intervalo.
Resposta
(a)
(b)
(c) O gráfico vs
é composto por uma reta de
a
com inclinação
e outra reta de
a
com inclinação
. A velocidade média é a inclinação da secante que liga
a
, ou seja
.
(b)
(c) O gráfico