Com auxílio de logaritmos, calcule os limites, utilizando a regra de L’Hospital se preferir:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1+\frac1{2x}\Bigr)^{x},
que é do tipo “forma exponencial”. Vamos usar logaritmos para transformar o problema num limite de produto ou quociente, e em seguida aplicar a regra de L’Hospital para calcular esse limite.

Passo 2

Definimos
y = \Bigl(1+\frac1{2x}\Bigr)^{x}.
Tomando o logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln y = x\;\ln\!\Bigl(1+\frac1{2x}\Bigr).

Passo 3

Queremos
\lim_{x\to\infty}\ln y =\lim_{x\to\infty}x\,\ln\!\Bigl(1+\frac1{2x}\Bigr).
Perceba que, quando x\to\infty, temos x\to\infty e \ln(1+1/(2x))\to0, isto é forma \infty\cdot0. Para aplicar L’Hospital, reescrevemos como quociente:
\lim_{x\to\infty}x\,\ln\!\Bigl(1+\frac1{2x}\Bigr) =\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\bigl(1+\frac1{2x}\bigr)}{1/x}.

Passo 4

Agora tanto numerador quanto denominador tendem a 0, então aplicamos L’Hospital:
derivada do numerador
\frac{d}{dx}\ln\!\Bigl(1+\frac1{2x}\Bigr) =\frac{1}{1+\frac1{2x}}\cdot\Bigl(-\frac1{2x^2}\Bigr) =-\frac{1}{2x^2\bigl(1+\frac1{2x}\bigr)},
derivada do denominador
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac1{x}\Bigr) =-\frac1{x^2}.
Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(1+\tfrac1{2x}\bigr)}{1/x} =\lim_{x\to\infty} \frac{-\frac{1}{2x^2(1+\frac1{2x})}}{-\frac1{x^2}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2\bigl(1+\frac1{2x}\bigr)} =\frac1{2}.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to\infty}\ln y = \frac12.
Logo
\lim_{x\to\infty}y =\exp\Bigl(\frac12\Bigr) =\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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