Com auxílio de logaritmos, calcule os limites, utilizando a regra de L’Hospital se preferir:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(2 x^{2}+x\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^+}(2x^2+x)^x
que é uma indeterminação do tipo 0^0. Vamos usar transformação logarítmica para converter a potência em produto e, se necessário, aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Defina
y = (2x^2 + x)^x.
Tomando o logaritmo, obtemos
\ln y = x \ln(2x^2 + x).

Passo 3

Separe o logaritmo em duas partes:
\ln(2x^2 + x) = \ln\bigl(x(2x+1)\bigr) = \ln x + \ln(2x+1).
Logo
\ln y = x\ln x + x\ln(2x+1).

Passo 4

Calcule
\lim_{x\to0^+}x\ln x.
Escreva como
\lim_{x\to0^+} \frac{\ln x}{1/x},
que é \tfrac{-\infty}{+\infty}. Aplicando L’Hospital:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x, \quad \frac{d}{dx}(1/x)=-\frac1{x^2},
então
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{1/x} =\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} =\lim_{x\to0^+}(-x) =0.

Passo 5

Calcule
\lim_{x\to0^+}x\ln(2x+1).
Como \ln(2x+1)\to\ln1=0 e x\to0, seu produto também vai a zero:
\lim_{x\to0^+}x\ln(2x+1)=0.

Passo 6

Reunindo,
\lim_{x\to0^+}\ln y =\lim_{x\to0^+}\bigl(x\ln x + x\ln(2x+1)\bigr) =0+0=0.
Portanto
\lim_{x\to0^+}y =\lim_{x\to0^+}e^{\ln y} =e^0 =1.

Resposta

1

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