Avalie as integrais nos Exercícios 9-12.
\int_{0}^{8} \int_{\sqrt[3]{x}}^{2} \frac{d y d x}{y^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{8}\int_{\sqrt[3]{x}}^{2}\frac{dy\,dx}{y^{4}+1}.
O conteúdo aqui é integração dupla e vamos precisar inverter a ordem de integração para simplificar.

Passo 2

A região de integração é
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 8,\;\sqrt[3]{x}\le y\le 2\}.
Para inverter, note que y varia de 0 a 2 e, para cada y, x vai de 0 até y^3. Assim
\int_{0}^{8}\int_{\sqrt[3]{x}}^{2}\frac{dy\,dx}{y^{4}+1} =\int_{0}^{2}\int_{0}^{y^{3}}\frac{dx\,dy}{y^{4}+1}.

Passo 3

Calcule a integral interna em x:
\int_{0}^{y^{3}}\frac{dx}{y^{4}+1} =\frac{1}{y^{4}+1}\int_{0}^{y^{3}}dx =\frac{y^{3}}{y^{4}+1}.
Logo a integral dupla reduz a
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}dy.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}dy, faça u=y^{4}+1, de modo que du=4y^{3}dy. Quando y=0, u=1; quando y=2, u=17. Assim
\int_{0}^{2}\frac{y^{3}}{y^{4}+1}dy =\int_{1}^{17}\frac{1}{4u}du =\frac{1}{4}\ln(u)\Big|_{1}^{17} =\frac{1}{4}\ln(17).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\ln(17)

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