Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{2} \int_{0}{4-x{2}} 2 x d y d x
\int_{0}^{2} \int_{0}{4-x{2}} 2 x d y d x
Passo 1
O enunciado dá a integral iterada
que representa a área sob a curva
para
, ponderada pelo fator
. O objetivo é:
- Esboçar a região de integração
. - Trocar a ordem de integração, escrevendo
com invertido. - Avaliar ambas as integrais e verificar que dão o mesmo valor.
Passo 2
A região
é dada por
No plano
, isso é o conjunto de pontos abaixo da parábola
, acima do eixo
, entre as retas
e
.
Esboço qualitativo de
:
- A parábola intercepta o eixo
em . - Estamos em
. - Para cada
fixo, varia de até .
Passo 3
Para inverter a ordem, observamos que
varia entre o mínimo
e o máximo atingido no vértice da parábola, que é
. A cada valor de
, o
vai de
até a raiz positiva da equação
, ou seja
. Assim a integral com ordem invertida fica
Passo 4
Avaliação da integral na ordem original:
Calculando,
Passo 5
Avaliação da integral com ordem invertida:
Então
Resposta
Integral original:
Integral invertida: