Esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a ordem de integração invertida. Em seguida, avalie ambas as integrais.
\int_{0}^{2} \int_{0}{4-x{2}} 2 x d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - x^{2}}2x\,dy\,dx
que representa a área sob a curva y = 4 - x^{2} para 0 \le x \le 2, ponderada pelo fator 2x. O objetivo é:
  1. Esboçar a região de integração R.
  2. Trocar a ordem de integração, escrevendo
    \displaystyle \int\!\!\int_{R}2x\,dA com dy\,dx invertido.
  3. Avaliar ambas as integrais e verificar que dão o mesmo valor.

Passo 2

A região R é dada por
0 \le x \le 2, \quad 0 \le y \le 4 - x^{2}.
No plano xy, isso é o conjunto de pontos abaixo da parábola y = 4 - x^{2}, acima do eixo x, entre as retas x=0 e x=2.
Esboço qualitativo de R:
  • A parábola intercepta o eixo x em x=\pm2.
  • Estamos em 0\le x\le2.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 até 4 - x^{2}.

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que y varia entre o mínimo 0 e o máximo atingido no vértice da parábola, que é y=4. A cada valor de y\in[0,4], o x vai de x=0 até a raiz positiva da equação y=4 - x^{2}, ou seja x = \sqrt{4 - y}. Assim a integral com ordem invertida fica
\int_{y=0}^{4}\int_{x=0}^{\sqrt{4 - y}}2x\,dx\,dy.

Passo 4

Avaliação da integral na ordem original:
\int_{0}^{2}\Bigl[\int_{0}^{4 - x^{2}}2x\,dy\Bigr]dx = \int_{0}^{2}2x\,(4 - x^{2})\,dx = 2\int_{0}^{2}(4x - x^{3})\,dx.
Calculando,
2\Bigl[\;4\frac{x^{2}}{2} \;-\;\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} = 2\Bigl[2x^{2} - \tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2} = 2\bigl[2\cdot4 - \tfrac{16}{4}\bigr] = 2\bigl[8 - 4\bigr] = 2\cdot4 = 8.

Passo 5

Avaliação da integral com ordem invertida:
\int_{0}^{4}\Bigl[\int_{0}^{\sqrt{4 - y}}2x\,dx\Bigr]dy = \int_{0}^{4}\bigl[x^{2}\bigr]_{0}^{\sqrt{4 - y}}\,dy = \int_{0}^{4}(4 - y)\,dy.
Então
\bigl[\,4y - \tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{4} = 16 - 8 = 8.

Resposta

Integral original:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - x^{2}}2x\,dy\,dx = 8.
Integral invertida:
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\sqrt{4 - y}}2x\,dx\,dy = 8.

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