Averigue a partir de que inteiro positivo é válida a desigualdade
. Prove a sua conjectura usando indução sobre
.
Passo 1
O enunciado pede para descobrir a partir de que inteiro positivo vale a desigualdade
e depois provar por indução que, a partir desse inteiro, ela é verdadeira para todo
. Vamos usar conteúdo de desigualdades e princípio de indução.
Passo 2
Para conjecturar o inteiro mínimo, testamos valores pequenos de
:
Para , temos
e
, logo
vale.
Para ,
e
, mas
, não vale.
Para ,
e
, mas
, não vale.
Para ,
e
, e
vale.
Portanto a desigualdade começa a valer a partir de .
Para
Para
Para
Para
Portanto a desigualdade começa a valer a partir de
Passo 3
Agora fazemos a prova por indução em
, começando em
.
Base (inicialização): Para já vimos que
.
Base (inicialização): Para
Passo 4
Passo indutivo: Suponha que para algum
valha a hipótese de indução
Precisamos mostrar que então
Note que
por hipótese de indução. Agora basta comparar
com
:
E para
(na verdade já para
) vale
. Logo
Isso completa o passo indutivo.
Passo 5
Concluímos por indução que, para todo inteiro
, vale
.
Resposta
A desigualdade
passa a valer a partir de
, e por indução está comprovada para todo inteiro
.