Averigue a partir de que inteiro positivo é válida a desigualdade n!>= n^2. Prove a sua conjectura usando indução sobre n.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir a partir de que inteiro positivo vale a desigualdade n!>= n^2 e depois provar por indução que, a partir desse inteiro, ela é verdadeira para todo n. Vamos usar conteúdo de desigualdades e princípio de indução.

Passo 2

Para conjecturar o inteiro mínimo, testamos valores pequenos de n:
Para n=1, temos 1! = 1 e 1^2 = 1, logo 1! >= 1^2 vale.
Para n=2, 2! = 2 e 2^2 = 4, mas 2 < 4, não vale.
Para n=3, 3! = 6 e 3^2 = 9, mas 6 < 9, não vale.
Para n=4, 4! = 24 e 4^2 = 16, e 24 >= 16 vale.
Portanto a desigualdade começa a valer a partir de n=4.

Passo 3

Agora fazemos a prova por indução em n, começando em n0 = 4.
Base (inicialização): Para n=4 já vimos que 4! = 24 >= 16 = 4^2.

Passo 4

Passo indutivo: Suponha que para algum k >= 4 valha a hipótese de indução
k! >= k^2
Precisamos mostrar que então
(k+1)! >= (k+1)^2
Note que
(k+1)! = (k+1)cdot k! >= (k+1)cdot k^2
por hipótese de indução. Agora basta comparar (k+1),k^2 com (k+1)^2:
(k+1),k^2 >= (k+1)^2 iff k^2 >= k+1
E para k>= 4 (na verdade já para k>= 2) vale k^2 >= k+1. Logo
(k+1)! >= (k+1),k^2 >= (k+1)^2
Isso completa o passo indutivo.

Passo 5

Concluímos por indução que, para todo inteiro n>= 4, vale n!>= n^2.

Resposta

A desigualdade n! >= n^2 passa a valer a partir de n=4, e por indução está comprovada para todo inteiro n>= 4.

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