Mostre que (4^n+15 n-1)(11^m+2+12^2 m+1) é múltiplo de 1197 quaisquer que sejam n in N e m in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o produto l(4^n + 15n - 1r),l(11^m+2 + 12^2m+1r) é múltiplo de 1197 para quaisquer n,minN. O conteúdo envolve fatoração de inteiros e aritmética modular.

Passo 2

Vamos fatorar 1197 para entender os divisores que precisamos:
1197 = 3^2 times 7 times 19 = 9 times 7 times 19
Para garantir que o produto seja múltiplo de 1197, basta mostrar que aparece no conjunto de fatores:
3^2=9 vem de um dos fatores,
7 e 19 vêm de (outra) escolha de fator.

Passo 3

Primeiro, vamos ver que 7 divide 11^m+2 + 12^2m+1. Reduzindo módulo 7:
11 equiv 4 pmod 7,
12 equiv 5 pmod 7,
então
11^m+2 + 12^2m+1 equiv 4^m+2 + 5^2m+1 =4^m,4^2 + 5,(5^2)^m =4^m,(16) + 5,(25)^m equiv 4^m,(2) + 5,(4)^m =4^m,2 + 5,4^m =4^m,(2+5) =4^m,7 equiv 0 pmod 7

Passo 4

Logo, 7 divide o segundo fator.

Passo 5

Agora, mostramos que 9 divide 4^n + 15n -1. Em módulo 9:
4^n + 15n -1 equiv 4^n + 6n -1 pmod 9,

Passo 6

notando que 4^1equiv4,, 4^2equiv7, 4^3equiv1pmod9 e que o ciclo é de período 3. Verificamos em cada caso nbmod3:
– Se nequiv0: 4^nequiv1 e 6nequiv0, logo 1+0-1=0pmod9.
– Se nequiv1: 4^nequiv4 e 6nequiv6, logo 4+6-1=9equiv0pmod9.
– Se nequiv2: 4^nequiv7 e 6nequiv12equiv3, logo 7+3-1=9equiv0pmod9.

Passo 7

Portanto, 9mid(4^n+15n-1).

Passo 8

Finalmente, mostramos que 19 divide 11^m+2+12^2m+1. Em módulo 19:
11equiv-8, 12equiv-7 pmod19

Passo 9

Então
11^m+2+12^2m+1 =(-8)^m+2 + (-7)^2m+1 =(-8)^m,(-8)^2 + (-7),((-7)^2)^m =7,(-8)^m -7,11^m =7l((-8)^m - 11^mr)

Passo 10

Mas -8)equiv11pmod19, logo (-8)^mequiv11^m, e o parêntese é zero. Assim 19 divide o segundo fator.

Passo 11

Juntando tudo: 4^n+15n-1 é múltiplo de 9, e 11^m+2+12^2m+1 é múltiplo de 7 e de 19. Como 9, 7 e 19 são coprimos entre si, o produto é múltiplo de 9times7times19=1197.

Resposta

Para quaisquer n,minN, o produto é sempre divisível por 1197.

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