Mostre que
é múltiplo de 1197 quaisquer que sejam
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o produto
é múltiplo de 1197 para quaisquer
. O conteúdo envolve fatoração de inteiros e aritmética modular.
Passo 2
Vamos fatorar 1197 para entender os divisores que precisamos:
Para garantir que o produto seja múltiplo de 1197, basta mostrar que aparece no conjunto de fatores:
– vem de um dos fatores,
– e
vêm de (outra) escolha de fator.
–
–
Passo 3
Primeiro, vamos ver que
divide
. Reduzindo módulo 7:
então
Passo 4
Logo,
divide o segundo fator.
Passo 5
Agora, mostramos que
divide
. Em módulo 9:
Passo 6
notando que
,
,
e que o ciclo é de período 3. Verificamos em cada caso
:
– Se :
e
, logo
.
– Se :
e
, logo
.
– Se :
e
, logo
.
– Se
– Se
– Se
Passo 7
Portanto,
.
Passo 8
Finalmente, mostramos que
divide
. Em módulo 19:
Passo 9
Então
Passo 10
Mas
, logo
, e o parêntese é zero. Assim
divide o segundo fator.
Passo 11
Juntando tudo:
é múltiplo de
, e
é múltiplo de
e de
. Como
,
e
são coprimos entre si, o produto é múltiplo de
.
Resposta
Para quaisquer
, o produto é sempre divisível por 1197.