Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta
para os seguintes dois casos:
Passo 1
Temos a função de malha aberta
Seu conteúdo é um sistema com:
- Dois zeros reais em
e . - Dois polos em
(polo de ordem 2) e um polo real em .
Para desenhar o diagrama polar deprecisamos ver como o ponto descrito por varia quando vai de a .
Passo 2
Escrevendo em
:
– Quando
, o numerador tende a
(ângulo
) e
tende a zero com ângulo
. Logo a fase total parte de
e a magnitude tende a
. Portanto o traço começa infinitamente longe sobre o eixo real negativo, apontando em
.
– Quando , cada zero dá
, total
; o polo em
dá –
; o polo duplo em
dá –
. A fase total fica
– Quando
e a magnitude tende a
. Portanto o traço termina na origem, sobre o eixo imaginário negativo, apontando em
.
– As frequências críticas (onde o ângulo muda mais rápido) são
– As frequências críticas (onde o ângulo muda mais rápido) são
em cada uma delas o traço “engata” parte daquela rotação de
.
Passo 3
As rotações líquidas são estas:
- Em
entra o zero em : . - Em
entra o zero em : . - Em
entra o polo em : – .
No total, da faseaté a fase há de avanço, como conferido.
Passo 4
Caso 1:
(logo
)
– À medida que cresce, o primeiro zero a “atuar” é o de frequência
, depois o zero em
, e por fim o polo em
.
– Traçado qualitativo: o ponto começa em sobre o real negativo, faz um “joelho” em
, outro em
, depois gira no polo em
e mergulha para a origem sobre o eixo imaginário negativo.
– À medida que
– Traçado qualitativo: o ponto começa em
ASCII esquemático (seta indica sentido crescente de
):
Im
↑
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_a\) (segundo joelho)
| /
| /
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_b\) (primeiro joelho)
| /
| /
| •------\(\to\omega\approx 0\): |G|\(\to\infty\) ∠\(180\circ\) (início)
| \
| \
| \(\bullet\omega=1\)/T (polo)
| \
| \
↓ \(\bullet\omega\to\infty\): |G|\(\to 0\) ∠\(270\circ\) (eixo imag. neg)
+----------------→ Re
Passo 5
Caso 2:
(logo
)
– Agora o joelho inicial é em , depois em
, e por fim o polo em
.
– O formato geral é semelhante, mas a ordem dos “joelhos” (pontos de inflexão) inverte.
– Agora o joelho inicial é em
– O formato geral é semelhante, mas a ordem dos “joelhos” (pontos de inflexão) inverte.
ASCII esquemático:
Im
↑
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_b\) (primeiro joelho)
| /
| /
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_a\) (segundo joelho)
| /
| /
| •----\(\to\omega\approx 0\): |G|\(\to\infty\) ∠\(180\circ\)
| \
| \
| \(\bullet\omega=1\)/T
| \
| \
↓ \(\bullet\omega\to\infty\): |G|\(\to 0\) ∠\(270\circ+\)----------------→ Re
Resposta
Os dois diagramas polares são os esboços acima:
- Para
, o joelho em vem primeiro, depois em . - Para
, a ordem desses dois joelhos inverte.
Em ambos o traço parte de(eixo real negativo) e termina em (eixo imaginário negativo).