Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta
G(s) H(s)=\frac{K\left(T_{a} s+1\right)\left(T_{b} s+1\right)}{s^{2}(T s+1)}
para os seguintes dois casos:
T>T_{a}>0, \quad T>T_{b}>0

Passo 1

Temos a função de malha aberta
G(s)H(s)\;=\;\frac{K\,(T_a s+1)\,(T_b s+1)}{s^2\,(T s+1)}
Seu conteúdo é um sistema com:
  1. Dois zeros reais em s=-1/T_a e s=-1/T_b.
  2. Dois polos em s=0 (polo de ordem 2) e um polo real em s=-1/T.
    Para desenhar o diagrama polar de G(j\omega)H(j\omega) precisamos ver como o ponto \bigl(\Re\!,\Im\bigr) descrito por G(j\omega)H(j\omega) varia quando \omega vai de 0 a +\infty.

Passo 2

Escrevendo em s=j\omega:
G(j\omega)H(j\omega) =\;K\;\frac{(1+j\omega T_a)\,(1+j\omega T_b)}{(j\omega)^2\,(1+j\omega T)} =\;-\,K\;\frac{(1+j\omega T_a)\,(1+j\omega T_b)}{\omega^2\,(1+j\omega T)}\,.
– Quando \omega\to0, o numerador tende a 1 (ângulo 0^\circ) e (j\omega)^2=-\omega^2 tende a zero com ângulo -180^\circ. Logo a fase total parte de
\varphi(0)=0-(-180^\circ)=+180^\circ,
e a magnitude tende a +\infty. Portanto o traço começa infinitamente longe sobre o eixo real negativo, apontando em 180^\circ.
– Quando \omega\to\infty, cada zero dá +90\circ, total +180\circ; o polo em 1+j\omega T dá – 90\circ; o polo duplo em \omega^2 dá – 180\circ. A fase total fica
\varphi(\infty)=180^\circ-90^\circ-180^\circ=-90^\circ\quad(\equiv270^\circ),
e a magnitude tende a 0. Portanto o traço termina na origem, sobre o eixo imaginário negativo, apontando em -90^\circ.
– As frequências críticas (onde o ângulo muda mais rápido) são
\omega=\frac1{T_a},\quad \omega=\frac1{T_b},\quad \omega=\frac1T,
em cada uma delas o traço “engata” parte daquela rotação de \pm90^\circ.

Passo 3

As rotações líquidas são estas:
  • Em \omega=1/T_a entra o zero em -1/T_a: +90\circ.
  • Em \omega=1/T_b entra o zero em -1/T_b: +90\circ.
  • Em \omega=1/T entra o polo em -1/T: – 90\circ.
    No total, da fase 180^\circ até a fase -90^\circ +90^\circ de avanço, como conferido.

Passo 4

Caso 1: T_a < T_b (logo 1/T_a>1/T_b)
– À medida que \omega cresce, o primeiro zero a “atuar” é o de frequência \omega=1/T_b, depois o zero em 1/T_a, e por fim o polo em 1/T.
– Traçado qualitativo: o ponto começa em \infty\angle180^\circ sobre o real negativo, faz um “joelho” em \omega=1/T_b, outro em \omega=1/T_a, depois gira no polo em 1/T e mergulha para a origem sobre o eixo imaginário negativo.
ASCII esquemático (seta indica sentido crescente de \omega):
Im
↑
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_a\) (segundo joelho) 
| /
| /
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_b\) (primeiro joelho)
| /
| / 
| •------\(\to\omega\approx 0\): |G|\(\to\infty\) ∠\(180\circ\) (início)
| \
| \
| \(\bullet\omega=1\)/T (polo) 
| \
| \
↓ \(\bullet\omega\to\infty\): |G|\(\to 0\) ∠\(270\circ\) (eixo imag. neg)
+----------------→ Re

Passo 5

Caso 2: T_b < T_a (logo 1/T_b>1/T_a)
– Agora o joelho inicial é em \omega=1/T_a, depois em \omega=1/T_b, e por fim o polo em 1/T.
– O formato geral é semelhante, mas a ordem dos “joelhos” (pontos de inflexão) inverte.
ASCII esquemático:
Im
↑
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_b\) (primeiro joelho)
| /
| /
| \(\bullet\omega=1\)/\(T_a\) (segundo joelho)
| /
| / 
| •----\(\to\omega\approx 0\): |G|\(\to\infty\) ∠\(180\circ\) 
| \
| \
| \(\bullet\omega=1\)/T 
| \
| \
↓ \(\bullet\omega\to\infty\): |G|\(\to 0\) ∠\(270\circ+\)----------------→ Re

Resposta

Os dois diagramas polares são os esboços acima:
  • Para T_a<T_b, o joelho em \omega=1/T_b vem primeiro, depois em \omega=1/T_a.
  • Para T_b<T_a, a ordem desses dois joelhos inverte.
    Em ambos o traço parte de \infty\angle180^\circ (eixo real negativo) e termina em 0\angle270^\circ (eixo imaginário negativo).

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