- Se
e
forem matrizes quadradas de mesma ordem tais que
, então
.
Passo 1
O enunciado diz: “Se
,
e
forem matrizes quadradas da mesma ordem tais que
então
.”
O conteúdo é a lei de cancelamento em álgebra matricial e envolve noções de inversibilidade de matrizes e núcleo (kernel).
O conteúdo é a lei de cancelamento em álgebra matricial e envolve noções de inversibilidade de matrizes e núcleo (kernel).
Passo 2
Da igualdade
segue
Ou seja, a matriz
satisfaz
Isso significa que toda coluna de
é levada ao vetor zero por
, isto é, as colunas de
estão no núcleo de
.
Passo 3
Se
for invertível, existe
tal que multiplicando a equação
pela direita por
obtemos
logo
Portanto, sob a hipótese extra de
invertível, a lei de cancelamento vale.
Passo 4
Se
não for invertível, seu núcleo é não trivial, ou seja, existe matriz não nula
com
Basta então escolher
tais que
. Um exemplo simples é tomar
igual à matriz zero e
qualquer. Então
mas
. Logo, sem inversibilidade de
, não podemos concluir
.
Resposta
A afirmação é falsa. (Vale somente se
for invertível.)