1. Se A, B e C forem matrizes quadradas de mesma ordem tais que A C=B C, então A=B.

Passo 1

O enunciado diz: “Se A, B e C forem matrizes quadradas da mesma ordem tais que
A\,C = B\,C
então A = B.”
O conteúdo é a lei de cancelamento em álgebra matricial e envolve noções de inversibilidade de matrizes e núcleo (kernel).

Passo 2

Da igualdade A\,C = B\,C segue
(A - B)\,C = A\,C - B\,C = 0.
Ou seja, a matriz M = A - B satisfaz
M\,C = 0.
Isso significa que toda coluna de M é levada ao vetor zero por C, isto é, as colunas de M estão no núcleo de C.

Passo 3

Se C for invertível, existe C^{-1} tal que multiplicando a equação (A-B)\,C=0 pela direita por C^{-1} obtemos
A - B = 0,
logo
A = B.
Portanto, sob a hipótese extra de C invertível, a lei de cancelamento vale.

Passo 4

Se C não for invertível, seu núcleo é não trivial, ou seja, existe matriz não nula N com
N\,C = 0.
Basta então escolher A\neq B tais que A-B=N. Um exemplo simples é tomar C igual à matriz zero e A\neq B qualquer. Então
A\,C = A\cdot0 = 0 \quad\text{e}\quad B\,C = B\cdot0 = 0,
mas A\neq B. Logo, sem inversibilidade de C, não podemos concluir A=B.

Resposta

A afirmação é falsa. (Vale somente se C for invertível.)

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