(b) Calcule o volume do sólido limitado pelas superfície 
  e o plano 
 .
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular o volume do sólido que está entre a superfície 
  e o plano 
 . Isso é um exercício de cálculo em multivariáveis, usando integrais duplas. Vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas polares para facilitar nossos cálculos. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. A equação 
  representa um paraboloide que abre para baixo, e o plano 
  é o plano xy. O volume que queremos é a região abaixo do paraboloide e acima do plano xy.
Passo 3
Para calcular o volume, podemos usar uma integral dupla sobre a região 
  no plano xy que é a projeção do sólido. A fórmula geral para o volume é:
Passo 4
Perceba que a região 
  onde o paraboloide corta o plano 
  é dada pela equação 
 , ou seja, 
 . Isso é um círculo com raio 2 no plano xy.
Passo 5
Como a região 
  é um círculo, fica mais fácil mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, 
  e 
 , e o elemento de área 
  vira 
 .
Passo 6
Reescrevendo a integral em coordenadas polares, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a 
 :
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a 
 :
Resposta
O volume do sólido é 
  unidades cúbicas.