Calcule as integrais, para as regiões 
  indicadas.
 , onde 
  é limitada por 
  e 
 .
Passo 1
Aqui, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
onde a região 
  é limitada pelas curvas 
  e 
 . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais duplas e a determinação dos limites de integração com base nas curvas que delimitam a região 
 .
Passo 2
Primeiramente, vamos desenhar as curvas para visualizar melhor a região 
 .
- 
Curva
: Esta é uma função em forma de “V” invertido que intercepta o eixo em e desce com inclinação negativa para e positiva para .  - 
Curva
: Esta é uma parábola voltada para cima com vértice no ponto .  
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração.
Igualando as duas equações:
Rearranjando:
Agora, resolvemos considerando os casos 
  e 
 .
- 
Para
: 
, então: Resolvendo a equação quadrática:As soluções sãoe . Como , consideramos .  - 
Para
: 
, então: Resolvendo a equação quadrática:As soluções sãoe . Como , consideramos .  
Portanto, os pontos de interseção estão em 
  e 
 .
Passo 4
Agora, sabemos que 
  varia de 
  a 
 . Para cada valor de 
  neste intervalo, 
  varia de 
  até 
 .
Assim, a integral dupla pode ser escrita como:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a 
  primeiro:
A integral de 
  é 
 , então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral em relação a 
 :
Observamos que a função integranda é par (simétrica em relação ao eixo 
 ), então podemos simplificar multiplicando a integral de 
  a 
  por 
 :
Passo 7
Vamos expandir as expressões dentro dos colchetes:
Substituindo:
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Portanto, a integral se torna:
Passo 10
Avaliando nos limites 
  e 
 :
- Para 
:  - Para 
: 
Todos os termos são zero. 
Portanto, o valor da integral é aproximadamente 
 . Convertendo para fração exata:
Resposta
A integral dupla avaliada é 
 .