1.5. b) \lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{1-\sqrt{3-x}}{x-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2}\frac{1-\sqrt{3-x}}{x-2}.
Este é um caso de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}, então vamos usar a técnica de multiplicar por um conjugado para eliminar a raiz.

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=2:
1-\sqrt{3-2}=1-1=0 \quad\text{e}\quad 2-2=0,
logo temos 0/0, confirmação da indeterminação.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1-\sqrt{3-x}, que é 1+\sqrt{3-x}:
\frac{1-\sqrt{3-x}}{x-2}\cdot\frac{1+\sqrt{3-x}}{1+\sqrt{3-x}} =\frac{1 - (3 - x)}{(x-2)\,(1+\sqrt{3-x})}.

Passo 4

No numerador simplificamos:
1 - (3 - x)=1-3+x=x-2.
Assim a expressão vira
\frac{x-2}{(x-2)\,(1+\sqrt{3-x})} =\frac{1}{1+\sqrt{3-x}},\quad x\neq2.

Passo 5

Agora que a forma está simplificada, calculamos o limite direto:
\lim_{x\to2}\frac{1}{1+\sqrt{3-x}} =\frac{1}{1+\sqrt{1}} =\frac{1}{1+1} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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