Se
, expresse
(k inteiro positivo) em termos de A , P e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você recebeu um exercício que envolve matrizes e operações com elas. O enunciado diz que
e pede para expressar
(onde
é um número inteiro positivo) em termos de
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicação de matrizes funciona e como aplicar potências a essa expressão inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa multiplicar matrizes. Quando temos duas matrizes
e
, o produto
é calculado multiplicando linhas de
pelas colunas de
. Importante lembrar que, em geral,
.
Passo 3
Agora, observamos que
. Queremos encontrar
. Vamos fazer isso multiplicando
por si mesma:
Passo 4
Podemos reorganizar essa expressão para facilitar a multiplicação. Lembre-se que a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos agrupar da seguinte forma:
Aqui,
é igual à matriz identidade
, pois uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na identidade.
Passo 5
Substituindo
por
, temos:
Como multiplicar qualquer matriz pela identidade não altera a matriz, podemos simplificar:
Passo 6
Perceba o padrão que se forma aqui. Quando elevamos
ao quadrado, acabamos com
ao quadrado no meio, cercado por
e
. Isso sugere que, para uma potência qualquer
, teremos:
Isso ocorre porque cada vez que multiplicamos
por si mesma, as matrizes
e
se cancelam no meio, deixando apenas
elevado à potência desejada.
Resposta
Para qualquer número inteiro positivo
, temos: