b) Uma partícula de massa
se move em uma dimensão sob a ação de um potencial
Use o principio da incerteza para estimar a mínima energia total da partícula (cinética mais potencial) em função de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que se move numa dimensão só, e ela está sob a influência de um potencial
. Nosso objetivo aqui é usar o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a menor energia total que essa partícula pode ter, considerando tanto a energia cinética quanto a potencial. Para isso, vamos precisar entender direitinho o que é o princípio da incerteza e como ele se aplica a esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o princípio da incerteza. Basicamente, ele nos diz que não dá pra saber exatamente onde a partícula está e quão rápido ela está se movendo ao mesmo tempo. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é a incerteza na posição,
é a incerteza no momento (que está relacionada à velocidade), e
é a constante de Planck.
Passo 3
Agora, vamos conectar isso com as energias. A energia cinética
de uma partícula é dada por:
Como estamos lidando com incertezas, podemos aproximar o momento
por
. Então, a energia cinética fica:
Passo 4
Por outro lado, a energia potencial
já foi dada como
. Aqui, a incerteza na posição
nos dá uma estimativa da energia potencial:
Passo 5
Nossa energia total
é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Mas, sabemos pelo princípio da incerteza que
. Para encontrar a energia mínima, vamos substituir
por essa expressão:
Passo 6
Agora, para encontrar o mínimo da energia total, vamos derivar
com relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora que temos
, vamos substituir de volta na expressão da energia total para encontrar a energia mínima:
Substituindo
:
Simplificando os termos, chegamos a:
Resposta
A mínima energia total da partícula é dada por: