Dados três operadores representados na sua forma matricial:
l O1=(ll 0 & 1 1 & 0 ) O2=(cc 0 & -i i & 0 ) O3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
a) Calcule todos os comutadores entre eles. Explique as implicações dos resultados obtidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três operadores representados por matrizes , e . O objetivo é calcular todos os comutadores entre eles. A matéria envolvida aqui é a teoria de operadores em mecânica quântica, especialmente o conceito de comutadores. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e aplicar a definição de comutador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um comutador. Para dois operadores [A, B] = AB - BA e , o comutador é definido por:
Se o comutador for igual a zero, isso significa que os operadores e comutam, ou seja, eles podem ser medidos simultaneamente sem interferência.

Passo 3

Vamos calcular o comutador entre O1 O2 = 0 & 1 1 & 0 0 & -i i & 0 = (0)(0) + (1)(i) & (0)(-i) + (1)(0) (1)(0) + (0)(i) & (1)(-i) + (0)(0) = i & 0 0 & -i e O2 O1 = 0 & -i i & 0 0 & 1 1 & 0 = (0)(0) + (-i)(1) & (0)(1) + (-i)(0) (i)(0) + (0)(1) & (i)(1) + (0)(0) = -i & 0 0 & i .
Primeiro, multiplicamos [O1, O2] = O1 O2 - O2 O1 = i & 0 0 & -i - -i & 0 0 & i = 2i & 0 0 & -2i por :
Agora, multiplicamos por :
Agora, calculamos o comutador:

Passo 4

Agora, vamos calcular o comutador entre O1 O3 = 0 & 1 1 & 0 1 & 0 0 & -1 = (0)(1) + (1)(0) & (0)(0) + (1)(-1) (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (0)(-1) = 0 & -1 1 & 0 e O3 O1 = 1 & 0 0 & -1 0 & 1 1 & 0 = (1)(0) + (0)(1) & (1)(1) + (0)(0) (0)(0) + (-1)(1) & (0)(1) + (-1)(0) = 0 & 1 -1 & 0 .
Primeiro, [O1, O3] = O1 O3 - O3 O1 = 0 & -1 1 & 0 - 0 & 1 -1 & 0 = 0 & -2 2 & 0 :
Segundo, :
Calculando o comutador:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o comutador entre O2 O3 = 0 & -i i & 0 1 & 0 0 & -1 = (0)(1) + (-i)(0) & (0)(0) + (-i)(-1) (i)(1) + (0)(0) & (i)(0) + (0)(-1) = 0 & i i & 0 e O3 O2 = 1 & 0 0 & -1 0 & -i i & 0 = (1)(0) + (0)(i) & (1)(-i) + (0)(0) (0)(0) + (-1)(i) & (0)(-i) + (-1)(0) = 0 & -i -i & 0 .
Primeiro, [O2, O3] = O2 O3 - O3 O2 = 0 & i i & 0 - 0 & -i -i & 0 = 0 & 2i 2i & 0 :
Segundo, :
Calculando o comutador:

Resposta

Os comutadores calculados são:
[O1, O2] = 2i & 0 0 & -2i , [O1, O3] = 0 & -2 2 & 0 , [O2, O3] = 0 & 2i 2i & 0
Implicações dos resultados:
Como todos os comutadores são diferentes de zero, isso indica que os operadores , e não comutam entre si. Na prática, isso significa que não podemos medir simultaneamente as grandezas físicas associadas a esses operadores com precisão total. Esse tipo de relação é fundamental na mecânica quântica, refletindo a incerteza inerente nas medições de grandezas conjugadas.

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