b) De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se:
Os homens devem ficar juntos e as mulheres também?
Os homens devem ficar juntos e as mulheres também?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos 4 homens e 5 mulheres que querem se organizar em uma fila. A condição é que todos os homens fiquem juntos e todas as mulheres também fiquem juntas. Vamos usar conceitos de arranjos e fatoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nos homens como um único grupo e nas mulheres como outro grupo. Assim, temos dois “blocos” para organizar na fila. O número de maneiras de organizar esses dois blocos é dado por:
Isso porque podemos ter o grupo dos homens primeiro seguido das mulheres, ou o grupo das mulheres primeiro seguido dos homens.
Passo 3
Agora, dentro do grupo dos homens, temos 4 indivíduos que podem ser organizados de várias formas. O número de maneiras de arranjar esses 4 homens é:
Isso significa que há 24 maneiras diferentes de organizar os homens dentro do grupo.
Passo 4
Da mesma forma, dentro do grupo das mulheres, temos 5 indivíduos que também podem ser organizados de várias formas. O número de maneiras de arranjar essas 5 mulheres é:
Então, há 120 maneiras diferentes de organizar as mulheres dentro do grupo.
Resposta
Para encontrar o número total de formas de organizar os 4 homens e 5 mulheres na fila, garantindo que todos os homens fiquem juntos e todas as mulheres fiquem juntas, multiplicamos as possibilidades de cada etapa:
Portanto, existem 5.760 maneiras diferentes de organizar essa fila seguindo as condições dadas.