a) De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se:
Os homens devem ficar juntos?
Os homens devem ficar juntos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de contagem de formas de organizar pessoas em uma fila. A situação envolve permutação de pessoas e a condição de que os 4 homens devem ficar juntos. Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar um grupo de pessoas como uma única “unidade” e depois calcular as diferentes maneiras de organizar essas unidades.
Passo 2
Primeiro, imagine que os 4 homens que precisam ficar juntos formam um único bloco. Assim, ao invés de termos 9 pessoas (4 homens + 5 mulheres), temos 6 “unidades” para organizar na fila: 1 bloco de homens e as 5 mulheres individuais.
Passo 3
Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos organizar essas 6 unidades na fila. Isso é uma permutação simples de 6 elementos, que é dado por:
Então, existem 720 maneiras de organizar as 6 unidades na fila.
Passo 4
Dentro do bloco de homens, os 4 homens podem se organizar entre si de várias maneiras. A quantidade de arranjos possíveis para os 4 homens é uma permutação de 4 elementos:
Então, há 24 maneiras de organizar os homens dentro do bloco.
Passo 5
Para encontrar o total de maneiras de organizar os 4 homens e 5 mulheres na fila com os homens juntos, multiplicamos o número de arranjos das unidades pela quantidade de arranjos dentro do bloco de homens:
Resposta
Existem 17.280 formas de organizar 4 homens e 5 mulheres em fila, garantindo que os homens fiquem juntos.