É uma relação de equivalência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma relação
definida entre pares ordenados
e
. A relação diz que
se, e somente se,
. Nosso objetivo é verificar se essa relação é uma relação de equivalência. Para isso, precisamos entender as propriedades que definem uma relação de equivalência e aplicar cada uma delas a
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a relação é reflexiva. Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, precisamos verificar se
para todo
.
Calculando:
Como
sempre, a relação é reflexiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a relação é simétrica. Isso significa que se
, então
também deve ser verdadeiro.
Suponha que
, ou seja,
.
Agora, para
:
Como também dá zero, a relação é simétrica.
Passo 4
Por último, vamos verificar se a relação é transitiva. Isso quer dizer que se
e
, então
deve ser verdadeiro.
Sabemos que:
Queremos mostrar que:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, calculando
:
Portanto, a relação é transitiva.
Resposta
Sim,
é uma relação de equivalência porque ela é reflexiva, simétrica e transitiva.