Se A e B são ângulos agudos positivos, demonstre que sen(A+B).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para demonstrar que, se e são ângulos agudos positivos, então . Aqui, estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções seno e as fórmulas de adição de ângulos. Para resolver, vamos usar a fórmula do seno da soma de dois ângulos e propriedades dos ângulos agudos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da soma de ângulos para o seno:
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
Essa fórmula nos permite expressar em termos de , , e .

Passo 3

Sabemos que 0 < cos A < 1 e 0 < cos B < 1 e são ângulos agudos, o que significa que e . Para ângulos agudos, os valores do cosseno são positivos e menores que 1. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos comparar sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B com sin A cos B < sin A e cos A sin B < sin B :
sin A cos B + cos A sin B < sin A + sin B
Como sin(A + B) < sin A + sin B e , então:
Somando essas desigualdades:
Portanto:

Resposta

Concluímos que, para ângulos agudos positivos e , é menor que .

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