Se
e
são dois números naturais tais que
e
, então
. Esta
é a definição de Número Binomial. Uma das propriedades mais importantes destes números é a chamada Relação de Stifel. Prove-a:
é a definição de Número Binomial. Uma das propriedades mais importantes destes números é a chamada Relação de Stifel. Prove-a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma relação importante dos números binomiais, que são aqueles que usamos em combinações, tipo
. A matéria aqui é combinatória, e pra resolver, vamos precisar entender a definição de número binomial e usar um pouquinho de álgebra com fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de número binomial:
Isso representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos.
Passo 3
Agora, queremos provar que:
Vamos começar escrevendo cada um dos dois termos do lado direito usando a definição.
Passo 4
Primeiro termo do lado direito:
Segundo termo do lado direito:
Passo 5
Vamos somar esses dois termos:
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. Vamos igualar os denominadores.
Passo 6
Observando os denominadores, note que:
E:
Isso acontece porque
.
Passo 7
Assim, somando os dois termos:
Resposta
Portanto, provamos que
.