Se n e p são dois números naturais tais que n >= 2 e n >= p, então binomnp=n!p!(n-p)!. Esta
é a definição de Número Binomial. Uma das propriedades mais importantes destes números é a chamada Relação de Stifel. Prove-a:
binomnp=binomn-1p-1+binomn-1p

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar uma relação importante dos números binomiais, que são aqueles que usamos em combinações, tipo . A matéria aqui é combinatória, e pra resolver, vamos precisar entender a definição de número binomial e usar um pouquinho de álgebra com fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de número binomial:
binomnp = n!p!(n-p)!
Isso representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos.

Passo 3

Agora, queremos provar que:
binomnp = binomn-1p-1 + binomn-1p
Vamos começar escrevendo cada um dos dois termos do lado direito usando a definição.

Passo 4

Primeiro termo do lado direito:
binomn-1p-1 = (n-1)!(p-1)!((n-1)-(p-1))! = (n-1)!(p-1)!(n-p)!
Segundo termo do lado direito:
binomn-1p = (n-1)!p!((n-1)-p)! = (n-1)!p!(n-1-p)! = (n-1)!p!(n-p-1)!

Passo 5

Vamos somar esses dois termos:
binomn-1p-1 + binomn-1p = (n-1)!(p-1)!(n-p)! + (n-1)!p!(n-p-1)!
Para somar frações, precisamos de um denominador comum. Vamos igualar os denominadores.

Passo 6

Observando os denominadores, note que:
(n-1)!(p-1)!(n-p)! = n!p!(n-p)!
E:
(n-1)!p!(n-p-1)! = n!p!(n-p)!
Isso acontece porque .

Passo 7

Assim, somando os dois termos:
binomn-1p-1 + binomn-1p = n!p!(n-p)! = binomnp

Resposta

Portanto, provamos que .

Exercícios relacionados