Se A e B são dois eventos quaisquer, vale:
P(B)=P(A \cap B)+P\left(B \cap A^{c}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá dois eventos A e B em um espaço de probabilidade e pede para mostrar que
P(B)=P(A \cap B)+P\bigl(B \cap A^{c}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a propriedade de aditividade de probabilidades sobre uniões de eventos disjuntos e a ideia de particionar um evento em duas partes.

Passo 2

Observamos que o evento B pode ser escrito como a reunião de duas partes mutuamente exclusivas:
B = \bigl(A \cap B\bigr)\;\cup\;\bigl(A^{c}\cap B\bigr).
De fato, qualquer elemento de B ou está em A (logo em A\cap B) ou não está em A (logo em A^{c}\cap B), e essas duas interseções são disjuntas:
\bigl(A \cap B\bigr)\;\cap\;\bigl(A^{c}\cap B\bigr)=\varnothing.

Passo 3

Pela propriedade de aditividade finita (probabilidade de união de eventos disjuntos), temos
P\bigl(B\bigr) = P\bigl((A \cap B)\;\cup\;(A^{c}\cap B)\bigr) = P(A \cap B) + P\bigl(A^{c}\cap B\bigr).

Resposta

P(B)=P(A \cap B)+P\bigl(B \cap A^{c}\bigr).

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