Se os eventos A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} formam uma partição do espaço amostral, então
\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)=1

Passo 1

O enunciado afirma que os eventos A_{1},A_{2},\dots,A_{n} formam uma partição do espaço amostral S. O conteúdo da matéria aqui são os axiomas de probabilidade, em especial (i) P(S)=1 e (ii) a aditividade finita: se B e C são disjuntos, então
P(B\cup C)=P(B)+P\text{(C)}.

Passo 2

Por hipótese de partição temos duas propriedades fundamentais:
  1. A_{i}\cap A_{j}=\varnothing sempre que i\neq j.
  2. \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=S.

Passo 3

Pela aditividade finita, a probabilidade da união de n eventos mutuamente disjuntos é a soma de suas probabilidades. Logo,
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\Bigr) =\sum_{i=1}^{n}P(A_{i}).

Passo 4

Como \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}=S e sabemos pelo axioma que P(S)=1, obtemos
\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})=P(S)=1.

Resposta

\displaystyle \sum_{i=1}^{n}P(A_{i})=1.

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