Se A e B são invertíveis, então
são invertíveis? Justifique caso seja(m) ou de um contraexemplo quando não.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre matrizes invertíveis. A pergunta é: se as matrizes
e
são invertíveis, será que
,
e
também são invertíveis? Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as operações de soma e subtração afetam essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Isso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por
.
Passo 3
Vamos começar analisando a matriz
. Se
é invertível, ou seja, existe
, então
também é invertível. A inversa de
é simplesmente
. Isso porque:
Portanto,
é invertível.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre
. Mesmo que
e
sejam invertíveis individualmente, não podemos garantir que
seja invertível. Para ver isso, vamos considerar um exemplo específico.
Considere:
Aqui,
é a matriz identidade, que certamente é invertível. Agora, somando as duas:
A matriz zero não é invertível, pois não existe uma matriz que, multiplicada por zero, resulte na identidade. Portanto,
nem sempre é invertível, mesmo que
e
sejam.
Passo 5
Por último, vamos analisar
. Assim como com
, a invertibilidade de
não é garantida apenas porque
e
são invertíveis. Vamos usar o mesmo exemplo:
Então:
Novamente, temos a matriz zero, que não é invertível. Portanto,
também pode não ser invertível, mesmo que
e
sejam.
Resposta
Se
e
são invertíveis, então
também é invertível. Entretanto,
e
nem sempre são invertíveis, como demonstrado pelos exemplos onde sua soma ou subtração resulta na matriz zero, que não é invertível.