Se A e B são invertíveis, então A+B, A-B e-A são invertíveis? Justifique caso seja(m) ou de um contraexemplo quando não.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre matrizes invertíveis. A pergunta é: se as matrizes e são invertíveis, será que , e também são invertíveis? Vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como as operações de soma e subtração afetam essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Isso significa que podemos “desfazer” a multiplicação por .

Passo 3

Vamos começar analisando a matriz (-A) cdot (-A^-1) = A cdot A^-1 = I . Se é invertível, ou seja, existe , então também é invertível. A inversa de é simplesmente . Isso porque:
Portanto, é invertível.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre A = I e B = -I . Mesmo que A + B = I + (-I) = 0 e sejam invertíveis individualmente, não podemos garantir que seja invertível. Para ver isso, vamos considerar um exemplo específico.
Considere:
Aqui, é a matriz identidade, que certamente é invertível. Agora, somando as duas:
A matriz zero não é invertível, pois não existe uma matriz que, multiplicada por zero, resulte na identidade. Portanto, nem sempre é invertível, mesmo que e sejam.

Passo 5

Por último, vamos analisar A = I e B = I . Assim como com A - B = I - I = 0 , a invertibilidade de não é garantida apenas porque e são invertíveis. Vamos usar o mesmo exemplo:
Então:
Novamente, temos a matriz zero, que não é invertível. Portanto, também pode não ser invertível, mesmo que e sejam.

Resposta

Se e são invertíveis, então também é invertível. Entretanto, e nem sempre são invertíveis, como demonstrado pelos exemplos onde sua soma ou subtração resulta na matriz zero, que não é invertível.

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