Resolva a equação matricial para X. Simplifique suas respostas tanto quanto possível. Assuma que todas as matrizes envolvidas sejam invertíveis.
(b) AXB=(B A)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação matricial onde precisamos encontrar a matriz na equação . Aqui estamos trabalhando com matrizes e usando conceitos de álgebra linear, especificamente envolvendo matrizes invertíveis e propriedades de multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolar o .

Passo 2

Primeiro, queremos isolar o na equação. Para isso, vamos lidar com as matrizes que estão multiplicando o à esquerda e à direita, que são e , respectivamente. Como as matrizes são invertíveis, podemos usar as matrizes inversas para “desfazer” essas multiplicações.

Passo 3

Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação à esquerda pela inversa de A^-1 (A X B) = A^-1 (B A)^2 , que é I X B = A^-1 (B A)^2 . Isso vai cancelar a matriz X B = A^-1 (B A)^2 que está multiplicando o :
Simplificando o lado esquerdo:
Como é a matriz identidade, não afeta :

Passo 4

Agora, queremos eliminar a matriz X B B^-1 = A^-1 (B A)^2 B^-1 que está multiplicando o X = A^-1 (B A)^2 B^-1 à direita. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa de , , à direita:
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a expressão (B A)^2 = B A B A . Isso significa multiplicar X = A^-1 B A B A B^-1 por ela mesma:
Substituindo de volta na equação para :

Passo 6

Agora, podemos reorganizar as matrizes para simplificar a expressão. Observe que X = A^-1 B A B A B^-1 pode ser mantido junto, já que está multiplicando a próxima parte:
Isso não simplifica muito mais, mas deixa clara a relação entre as matrizes.

Resposta

A solução para X = A^-1 (B A)^2 B^-1 é:

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