Se A e B são matrizes de ordem m \times n e c_{1} e c_{2} são escalares, mostre que:
c_{1}\left(c_{2} A\right)=\left(c_{1} c_{2}\right) A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas matrizes A e B de ordem m \times n e escalares c_{1} e c_{2}, vale a propriedade
c_{1}\bigl(c_{2}A\bigr)=\bigl(c_{1}c_{2}\bigr)A.
O conteúdo usado aqui é a definição de multiplicação de matriz por escalar e a associatividade da multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 2

Seja
A = (a_{ij})_{m\times n}.
Pela definição de multiplicação escalar em matrizes, temos
c_{2}A = \bigl(c_{2}a_{ij}\bigr)_{m\times n}.

Passo 3

Agora aplicamos c_{1} ao resultado:
c_{1}\bigl(c_{2}A\bigr) = c_{1}\bigl(c_{2}a_{ij}\bigr)_{m\times n} = \bigl(c_{1}\,(c_{2}a_{ij})\bigr)_{m\times n}.
Como em \mathbb{R} a multiplicação é associativa, c_{1}(c_{2}a_{ij})=(c_{1}c_{2})a_{ij}. Logo,
c_{1}\bigl(c_{2}A\bigr) = \bigl((c_{1}c_{2})\,a_{ij}\bigr)_{m\times n} = (c_{1}c_{2})A.

Resposta

c_{1}\bigl(c_{2}A\bigr)=\bigl(c_{1}c_{2}\bigr)A.

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