1. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e A é inversível, então \operatorname{det}\left(A B A^{-1}\right)=\operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e que A é invertível. Queremos mostrar que
\det\bigl(A\,B\,A^{-1}\bigr)=\det(B).
O conteúdo principal é o determinante de produto de matrizes e a relação entre o determinante de uma matriz invertível e o de sua inversa.

Passo 2

Usamos a propriedade de multiplicatividade do determinante, que diz que, para quaisquer matrizes quadradas X e Y da mesma ordem, vale
\det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
Aplicando isso a X=A e Y=B\,A^{-1}, temos
\det\bigl(A\,B\,A^{-1}\bigr) =\det(A)\,\det\bigl(B\,A^{-1}\bigr).

Passo 3

De novo pela multiplicatividade, agora em X=B e Y=A^{-1}, obtemos
\det\bigl(B\,A^{-1}\bigr) =\det(B)\,\det\bigl(A^{-1}\bigr).
Logo
\det\bigl(A\,B\,A^{-1}\bigr) =\det(A)\,\bigl[\det(B)\,\det(A^{-1})\bigr] =\det(A)\,\det(B)\,\det(A^{-1}).

Passo 4

Como A é invertível, sabemos que
\det\bigl(A^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(A)}.
Substituindo em cima, fica
\det\bigl(A\,B\,A^{-1}\bigr) =\det(A)\,\det(B)\,\frac{1}{\det(A)} =\det(B).

Resposta

\det\bigl(A\,B\,A^{-1}\bigr)=\det(B).

Exercícios relacionados