- Cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero.
Passo 1
O enunciado afirma que “cada conjunto linearmente dependente contém o vetor zero”. O conteúdo é dependência linear em espaços vetoriais, e para resolver precisamos usar a definição de conjunto linearmente dependente e verificar se ter o vetor zero é condição necessária ou apenas suficiente.
Passo 2
Por definição, um conjunto de vetores
é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero. Em outras palavras, existem escalares, nem todos nulos, tais que
Passo 3
Se um conjunto contém o vetor zero, ele é automaticamente linearmente dependente, pois podemos escolher
para o vetor zero e todos os outros escalares iguais a zero, obtendo
que é uma combinação não trivial. Logo, presença de zero é suficiente para dependência, mas não é condição necessária.
Passo 4
Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo sem o vetor zero. Considere em
o conjunto
Nenhum desses vetores é o vetor zero, mas eles são linearmente dependentes porque
é uma combinação não trivial.
Resposta
Falso.