1. Se B tiver uma coluna de zeros, então, sempre que o produto estiver definido, A B também tem.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se B tiver uma coluna de zeros, então, sempre que o produto estiver definido, AB também tem”. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais precisamente produto de matrizes e como ele age coluna a coluna.

Passo 2

Vamos escrever a matriz B de tamanho n\times p em termos de suas colunas:
B = \bigl[b_{1}\;\;b_{2}\;\;\dots\;\;b_{p}\bigr],
onde cada b_{j} é um vetor coluna de \mathbb{R}^{n}. Então, o produto AB, sendo A de tamanho m\times n, sai como
AB = \bigl[A\,b_{1}\;\;A\,b_{2}\;\;\dots\;\;A\,b_{p}\bigr].

Passo 3

Sejam b_{k} os vetores-coluna de B. Se para algum índice k tivermos b_{k}=0, então
A\,b_{k} = A\cdot 0 = 0
é o vetor zero de \mathbb{R}^{m}. Isso mostra que a k-ésima coluna de AB é nula.

Passo 4

Concluímos que sempre que B possui uma coluna de zeros (digamos a k-ésima), a coluna correspondente de AB também será o vetor zero. Logo, a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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