(b) Toda sequência que tem limite é limitada? Explique.

Passo 1

Temos uma sequência (xn) que converge para um limite L. O conteúdo aqui é convergência de sequências em R e definição de sequência limitada. Nosso objetivo é mostrar que existe um número M>0 tal que |xn|<= M para todo n.

Passo 2

Pela definição de convergência, dado varepsilon=1, existe um N tal que para todo n>= N vale |xn - L|<1. Daí obtemos para n>= N que
|xn| = |xn - L + L| <= |xn - L| + |L| < 1 + |L|

Passo 3

Os primeiros N-1 termos x1, x2, dots, xN-1 formam um conjunto finito, então definimos
M1 = max,|x1|,|x2|,dots,|xN-1|, M = max(M1,,1+|L|)

Passo 4

Assim, para todo n, seja n ou n>= N, temos |xn|<= M. Logo, (xn) é limitada.

Resposta

Sim. Toda sequência que converge é limitada, pois a definição de limite garante cotar os termos a partir de um certo índice e os termos iniciais são finitamente muitos, permitindo uma cota global.

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