(b) Toda sequência que tem limite é limitada? Explique.
Passo 1
Temos uma sequência
que converge para um limite
. O conteúdo aqui é convergência de sequências em
e definição de sequência limitada. Nosso objetivo é mostrar que existe um número
tal que
para todo
.
Passo 2
Pela definição de convergência, dado
, existe um
tal que para todo
vale
. Daí obtemos para
que
Passo 3
Os primeiros
termos
formam um conjunto finito, então definimos
Passo 4
Assim, para todo
, seja
ou
, temos
. Logo,
é limitada.
Resposta
Sim. Toda sequência que converge é limitada, pois a definição de limite garante cotar os termos a partir de um certo índice e os termos iniciais são finitamente muitos, permitindo uma cota global.