Uma bala de massa m=2,0 g está se movendo horizontalmente com uma velocidade de 500,0 m / s. A bala atinge e fica embutida na borda de um disco sólido de massa M=3,2 kg e raio R=0,5 m . O cilindro é livre para girar em torno de seu eixo e está inicialmente em repouso. Qual é a velocidade angular do disco imediatamente após o projétil ser incorporado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bala de massa m = 2,0, g que está se movendo horizontalmente a uma velocidade de 500,0, m/s. Essa bala atinge e fica presa na borda de um disco sólido com massa M = 3,2, kg e raio R = 0,5, m. O disco pode girar livremente em torno do seu eixo e está parado inicialmente. A gente precisa descobrir qual é a velocidade angular do disco logo depois que a bala se incorpora a ele.
Vamos usar os conceitos de momentum angular e conservação do momento angular para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, antes da bala atingir o disco, só a bala está em movimento. O momento angular total do sistema (bala + disco) antes do impacto é, portanto, o momento angular da bala, já que o disco está parado.
O momento angular ( L) de um objeto é dado por:
L = r times p
onde r é a distância do ponto de rotação (no caso, o centro do disco) até onde a força está sendo aplicada (a borda do disco), e p é o momento linear, que é m times v.

Passo 3

Vamos calcular o momento angular da bala antes do impacto.
Primeiro, convertemos a massa da bala para quilogramas:
m = 2,0, g = 0,002, kg
O momento linear ( p) da bala é:
p = m times v = 0,002, kg times 500,0, m/s = 1,0, kgcdotm/s
Como a bala atinge a borda do disco, a distância r é igual ao raio R do disco:
r = R = 0,5, m
Então, o momento angular ( Lbala) da bala antes do impacto é:
Lbala = r times p = 0,5, m times 1,0, kgcdotm/s = 0,5, kgcdotm^2/s

Passo 4

Após o impacto, a bala fica presa na borda do disco, e o sistema bala + disco passa a girar juntos com uma velocidade angular omega. Como não há torque externo agindo, o momento angular total do sistema deve ser conservado.
O momento angular final ( Lfinal) é:
Lfinal = I times omega
onde I é o momento de inércia do sistema.

Passo 5

Vamos calcular o momento de inércia do sistema bala + disco.
Primeiro, o momento de inércia do disco sólido em relação ao seu eixo é:
Idisco = 12 M R^2 = 12 times 3,2, kg times (0,5, m)^2 = 0,4, kgcdotm^2
A bala pode ser considerada como uma partícula no raio R, então o momento de inércia da bala ( Ibala) é:
Ibala = m R^2 = 0,002, kg times (0,5, m)^2 = 0,0005, kgcdotm^2
Portanto, o momento de inércia total do sistema é:
I = Idisco + Ibala = 0,4, kgcdotm^2 + 0,0005, kgcdotm^2 = 0,4005, kgcdotm^2

Passo 6

Aplicando a conservação do momento angular:
Linicial = Lfinal
0,5, kgcdotm^2/s = I times omega
0,5 = 0,4005 times omega
Resolvendo para omega:
omega = 0,50,4005 approx 1,248, rad/s

Resposta

A velocidade angular do disco imediatamente após a bala ser incorporada é aproximadamente 1,25, rad/s.

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