Uma bala de massa
está se movendo horizontalmente com uma velocidade de
. A bala atinge e fica embutida na borda de um disco sólido de massa
e raio
m . O cilindro é livre para girar em torno de seu eixo e está inicialmente em repouso. Qual é a velocidade angular do disco imediatamente após o projétil ser incorporado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma bala de massa
que está se movendo horizontalmente a uma velocidade de
. Essa bala atinge e fica presa na borda de um disco sólido com massa
e raio
. O disco pode girar livremente em torno do seu eixo e está parado inicialmente. A gente precisa descobrir qual é a velocidade angular do disco logo depois que a bala se incorpora a ele.
Vamos usar os conceitos de momentum angular e conservação do momento angular para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, antes da bala atingir o disco, só a bala está em movimento. O momento angular total do sistema (bala + disco) antes do impacto é, portanto, o momento angular da bala, já que o disco está parado.
O momento angular (
) de um objeto é dado por:
onde
é a distância do ponto de rotação (no caso, o centro do disco) até onde a força está sendo aplicada (a borda do disco), e
é o momento linear, que é
.
Passo 3
Vamos calcular o momento angular da bala antes do impacto.
Primeiro, convertemos a massa da bala para quilogramas:
O momento linear (
) da bala é:
Como a bala atinge a borda do disco, a distância
é igual ao raio
do disco:
Então, o momento angular (
) da bala antes do impacto é:
Passo 4
Após o impacto, a bala fica presa na borda do disco, e o sistema bala + disco passa a girar juntos com uma velocidade angular
. Como não há torque externo agindo, o momento angular total do sistema deve ser conservado.
O momento angular final (
) é:
onde
é o momento de inércia do sistema.
Passo 5
Vamos calcular o momento de inércia do sistema bala + disco.
Primeiro, o momento de inércia do disco sólido em relação ao seu eixo é:
A bala pode ser considerada como uma partícula no raio
, então o momento de inércia da bala (
) é:
Portanto, o momento de inércia total do sistema é:
Passo 6
Aplicando a conservação do momento angular:
Resolvendo para
:
Resposta
A velocidade angular do disco imediatamente após a bala ser incorporada é aproximadamente
.