Um elevador predial foi desenvolvido utilizando um contrapeso de 600 kg . um motor cujo eixo de rotação tem raio de 50 cm e massa de 50 kg . O elevador tem massa de 200kg e é projetado para carregar MAIS 640 kg . Qual deve ser o torque do motor para que ele seja capaz de fazer o elevador subir com velocidade constante quando o elevador está totalmente carregado e quando ele está vazio?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um elevador com um contrapeso de 600 kg, um motor com um eixo de rotação de raio 50 cm (ou 0,5 metros) e massa de 50 kg. O elevador em si pesa 200 kg e pode carregar mais 640 kg. Precisamos descobrir qual é o torque que o motor deve fornecer para que o elevador suba com velocidade constante, tanto quando está totalmente carregado quanto quando está vazio.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de equilíbrio de forças e torque. O torque é uma força que faz algo girar, e no caso do motor, ele precisa fornecer torque suficiente para equilibrar o peso do elevador mais a carga e o contrapeso. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o peso total que o motor precisa levantar. Quando o elevador está totalmente carregado, a massa total é a soma da massa do elevador mais a carga:
Quando o elevador está vazio, a massa total é apenas a massa do elevador:
Passo 3
Agora, vamos calcular a força gravitacional (peso) que precisa ser levantada em cada situação. A força gravitacional é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ g \approx 9,81,m/s² $).
Para o elevador carregado:
Para o elevador vazio:
Passo 4
O contrapeso ajuda a reduzir a força que o motor precisa exercer. O peso do contrapeso é:
Portanto, a força líquida que o motor precisa compensar é a diferença entre o peso do elevador (com ou sem carga) e o peso do contrapeso.
Para o elevador carregado:
Para o elevador vazio:
O sinal negativo indica que, na verdade, o contrapeso é maior que o peso do elevador vazio, o que significa que o motor não precisa atuar nesse caso para manter o elevador parado ou para baixá-lo.
Passo 5
Como queremos que o elevador suba com velocidade constante, o motor precisa fornecer torque suficiente para equilibrar a força líquida positiva (quando precisa levantar o elevador). O torque ($ \tau $) é dado por:
onde $ F $ é a força líquida e $ r $ é o raio do eixo de rotação do motor.
Para o elevador carregado:
Para o elevador vazio, como a força líquida é negativa, o motor na verdade não precisa fornecer torque para subir; na verdade, o contrapeso ajuda a descer o elevador.
Resposta
O torque necessário do motor para que o elevador suba com velocidade constante é de aproximadamente 1177,2 N·m quando o elevador está totalmente carregado e não é necessário torque adicional quando o elevador está vazio.