Uma bala de
5,0 \mathrm{~g}
movendo-se a
670 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
atinge um bloco de madeira de 500 g , inicialmente em repouso sobre uma superfície sem atrito. A bala atravessa o bloco e emerge, viajando no mesmo sentido, com sua velocidade reduzida a
420 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
. (a) Qual é a velocidade final do bloco ? (b) Qual é a porcentagem de energia perdida na colisão?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou colocar em unidades do SI para facilitar as contas):
  • Massa da bala: m_{\text{b}}=5{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}005\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial da bala: v_{\text{b,i}}=670\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa do bloco: m_{\text{bl}}=500\\ \mathrm{g} = 0{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial do bloco: v_{\text{bl,i}}=0\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
  • Velocidade final da bala (após atravessar o bloco): v_{\text{b,f}}=420\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pede:
(a) A velocidade final do bloco v_{\text{bl,f}}.
(b) A porcentagem de energia perdida na colisão (comparando energia cinética total antes e depois).

Passo 2

Princípio físico a usar (explicação didática): durante o impacto horizontal, não há forças externas horizontais relevantes (superfície sem atrito), portanto a quantidade de movimento (momento linear) do sistema bala+bloco é conservada. Isso significa que a soma dos momentos antes da colisão é igual à soma dos momentos depois.
A fórmula do momento linear de um objeto é p = m v, onde m é a massa e v a velocidade (sinal e direção importam). Para o sistema:
m_{\text{b}} v_{\text{b,i}} + m_{\text{bl}} v_{\text{bl,i}} = m_{\text{b}} v_{\text{b,f}} + m_{\text{bl}} v_{\text{bl,f}}.
Como v_{\text{bl,i}}=0, a equação fica mais simples. Observação: a energia cinética nem sempre é conservada em colisões onde há deformação/atrito interno; por isso usaremos momento para achar a velocidade do bloco e depois calcularemos energias para ver a perda.

Passo 3

Isolando v_{\text{bl,f}} na equação de conservação de momento:
m_{\text{b}} v_{\text{b,i}} = m_{\text{b}} v_{\text{b,f}} + m_{\text{bl}} v_{\text{bl,f}}
\Rightarrow m_{\text{bl}} v_{\text{bl,f}} = m_{\text{b}}\bigl(v_{\text{b,i}}-v_{\text{b,f}}\bigr)
\Rightarrow v_{\text{bl,f}} = \frac{m_{\text{b}}\bigl(v_{\text{b,i}}-v_{\text{b,f}}\bigr)}{m_{\text{bl}}}.
Isso é só álgebra: subtrai o momento final da bala do momento inicial total e divide pela massa do bloco.

Passo 4

Agora plugando os números (mostrando contas passo a passo):
v_{\text{b,i}}-v_{\text{b,f}} = 670 - 420 = 250\\ \mathrm{m/s}.
m_{\text{b}}\bigl(v_{\text{b,i}}-v_{\text{b,f}}\bigr) = 0{,}005 \times 250 = 1{,}25\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
v_{\text{bl,f}} = \frac{1{,}25}{0{,}5} = 2{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Portanto a velocidade final do bloco é 2{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora vamos calcular a energia perdida. A energia cinética de um objeto é dada por
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade. Para o sistema, calculamos a energia total antes (só a bala) e a energia total depois (bala + bloco). A diferença é a energia perdida (transformada em calor, som, deformação, etc.).

Passo 6

Energia cinética inicial (apenas a bala):
K_{\text{i}} = \tfrac{1}{2} m_{\text{b}} v_{\text{b,i}}^{2} = \tfrac{1}{2}\times 0{,}005 \times 670^{2}.
Calcule passo a passo:
\tfrac{1}{2}\times 0{,}005 = 0{,}0025, \qquad 670^{2} = 448900,
K_{\text{i}} = 0{,}0025 \times 448900 = 1122{,}25\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Energia cinética final da bala:
K_{\text{b,f}} = \tfrac{1}{2} m_{\text{b}} v_{\text{b,f}}^{2} = 0{,}0025 \times 420^{2}.
420^{2} = 176400, \qquad K_{\text{b,f}} = 0{,}0025 \times 176400 = 441{,}00\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Energia cinética final do bloco:
K_{\text{bl,f}} = \tfrac{1}{2} m_{\text{bl}} v_{\text{bl,f}}^{2} = \tfrac{1}{2}\times 0{,}5 \times 2{,}5^{2}.
\tfrac{1}{2}\times 0{,}5 = 0{,}25, \qquad 2{,}5^{2} = 6{,}25,
K_{\text{bl,f}} = 0{,}25 \times 6{,}25 = 1{,}5625\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Energia cinética total final e energia perdida:
K_{\text{f}} = K_{\text{b,f}} + K_{\text{bl,f}} = 441{,}00 + 1{,}5625 = 442{,}5625\\ \mathrm{J}.
Energia perdida:
\Delta K = K_{\text{i}} - K_{\text{f}} = 1122{,}25 - 442{,}5625 = 679{,}6875\\ \mathrm{J}.
Porcentagem de energia perdida (relativa à energia inicial):
\text{percentual perdido} = \frac{\Delta K}{K_{\text{i}}}\times 100\% = \frac{679{,}6875}{1122{,}25}\times 100\%.
\frac{679{,}6875}{1122{,}25}\approx 0{,}6057 \quad\Rightarrow\quad 60{,}57\%.
Arredondando para uma casa decimal fica aproximadamente 60{,}6\%.

Passo 10

Interpretação e observação final (didática e motivacional): a colisão é inelástica porque parte significativa da energia cinética inicial foi transformada em outras formas (calor, som, deformação da bala e do bloco). A conservação do momento foi suficiente para achar a velocidade do bloco; a energia não se conserva aqui porque há dissipação interna. Boa! Você já tem as contas prontas para a prova: use a conservação do momento para velocidades e a fórmula K=\tfrac{1}{2}mv^{2} para comparar energias.

Resposta

(a) v_{\text{bl,f}} = 2{,}5\\ \mathrm{m/s}
(b) 60{,}6\\ \%

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