Uma partícula de 12 g move-se a
3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
, para a direita na direção de uma outra que tem 6 g e uma velocidade de
7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
para a esquerda. Determine a variação de momento linear de cada partícula após ter ocorrido uma colisão frontal, perfeitamente elástica.

Passo 1

O enunciado fornece claramente os seguintes dados e pede uma coisa específica.
  • Dados:
    • Massa da partícula 1: m_1=12\\ \mathrm{g}.
    • Massa da partícula 2: m_2=6\\ \mathrm{g}.
    • Velocidade inicial da partícula 1: u_1=3\\ \mathrm{m/s} para a direita.
    • Velocidade inicial da partícula 2: u_2=7{,}5\\ \mathrm{m/s} para a esquerda.
    Observação sobre sinais (convenção): vou tomar a direção para a direita como positiva. Assim a velocidade de m_1 é u_1=+3\\ \mathrm{m/s} e a da m_2 é u_2=-7{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • O que se pede:
    • Determinar a variação do momento linear (isto é, \Delta p) de cada partícula após a colisão frontal, perfeitamente elástica.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula: p=m v. Aqui m é a massa e v a velocidade (com seu sinal). A variação do momento é
\Delta p = p_{\text{final}}-p_{\text{inicial}} = m(v_{\text{final}}-v_{\text{inicial}}).
  • Colisão frontal perfeitamente elástica em uma dimensão: aplicam-se duas leis de conservação fundamentais simultaneamente:
    1. Conservação do momento linear:
    m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2,
    onde u_i são velocidades iniciais e v_i as finais.
    2. Conservação da energia cinética:
    \tfrac{1}{2}m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2.
  • Uma consequência útil (que vamos demonstrar) para colisão elástica em 1D é que a velocidade relativa inverte de sinal:
v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2).
Isto significa que as partículas, relativas entre si, “trocam” a velocidade relativa (a rapidez relativa antes passa a ter sentido contrário depois).

Passo 3

Derivação da relação v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2) de forma simples e direta.
Partimos das duas equações de conservação. Subtrai-se a equação de energia pela forma que elimina os fatores \tfrac12 e reescreve-se como diferença de quadrados:
m_1(u_1^2-v_1^2)+m_2(u_2^2-v_2^2)=0.
Fatorando cada diferença de quadrados a^2-b^2=(a-b)(a+b):
m_1(u_1-v_1)(u_1+v_1)+m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2)=0.
A equação de conservação do momento pode ser reescrita isolando uma combinação:
m_1(u_1-v_1)=m_2(v_2-u_2).
Agora podemos usar essa relação para substituir m_1(u_1-v_1) na equação de energia fatorada:
m_2(v_2-u_2)(u_1+v_1)+m_2(u_2-v_2)(u_2+v_2)=0.
Note que v_2-u_2=-(u_2-v_2). Ao simplificar os sinais e dividir por m_2 obtém-se
(v_2-u_2)(u_1+v_1 - (u_2+v_2))=0.
Em colisão não-trivial a segunda fatoração não é zero em geral, então a relação que fica é
v_2-u_2 = 0 \quad\text{ou}\quad u_1+v_1 = u_2+v_2.
A opção correta (para colisão elástica entre corpos diferentes) leva à equivalência
u_1 - u_2 = -(v_1 - v_2).
Reorganizando:
v_1 - v_2 = -(u_1 - u_2).
Esta é a relação do “par de velocidades relativas” invertido.

Passo 4

Resolver o sistema usando a relação relativa junto com conservação do momento para obter fórmulas explícitas para v_1 e v_2.
Da relação relativa temos
v_2 = v_1 + (u_1 - u_2).
Substituindo na conservação do momento
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2\bigl(v_1 + (u_1-u_2)\bigr).
Agrupando termos em v_1:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1+m_2)v_1 + m_2(u_1-u_2).
Isolando v_1:
v_1 = \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2 - m_2(u_1-u_2)}{m_1+m_2} = \frac{(m_1-m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1+m_2}.
De modo análogo (ou trocando índices) obtém-se
v_2 = \frac{2m_1 u_1 + (m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.
Essas fórmulas são as fórmulas padrão para colisão elástica 1D — e acabamos de deduzi-las.

Passo 5

Aplicar aos números do problema. Primeiro passar as massas para o SI:
  • m_1 = 12\\ \mathrm{g} = 0,012\\ \mathrm{kg}.
  • m_2 = 6\\ \mathrm{g} = 0,006\\ \mathrm{kg}.
As velocidades iniciais, com a convenção escolhida, são
u_1 = +3\\ \mathrm{m/s},\qquad u_2 = -7{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Calcule v_1 usando a fórmula:
v_1 = \frac{(m_1-m_2)u_1 + 2m_2 u_2}{m_1+m_2}.
Substituindo os números:
m_1-m_2 = 0,012-0,006=0,006,\qquad m_1+m_2=0,012+0,006=0,018.
Logo os coeficientes são
\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}=\frac{0,006}{0,018}=\tfrac{1}{3},\qquad \frac{2m_2}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot0,006}{0,018}=\tfrac{2}{3}.
Então
v_1 = \tfrac{1}{3}\cdot 3 + \tfrac{2}{3}\cdot(-7{,}5) = 1 - 5 = -4\\ \mathrm{m/s}.
Interpretando: a partícula 1 passa a mover-se para a esquerda com velocidade 4\\ \mathrm{m/s}.
Agora v_2:
v_2 = \frac{2m_1 u_1 + (m_2-m_1)u_2}{m_1+m_2}.
Os coeficientes são
\frac{2m_1}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot0,012}{0,018}=\tfrac{4}{3},\qquad \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}=\frac{-0,006}{0,018}=-\tfrac{1}{3}.
Logo
v_2 = \tfrac{4}{3}\cdot 3 + \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\cdot(-7{,}5) = 4 + 2{,}5 = 6{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a partícula 2 passa a mover-se para a direita com 6{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a variação do momento de cada partícula usando \Delta p = m(v_{\text{final}}-v_{\text{inicial}}).
Para a partícula 1:
\Delta p_1 = m_1(v_1-u_1) = 0,012\cdot(-4 - 3) = 0,012\cdot(-7) = -0,084\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Significado: o momento da partícula 1 diminuiu em 0,084\\ \mathrm{kg\cdot m/s}; o sinal negativo indica que houve uma variação no sentido negativo (para a esquerda).
Para a partícula 2:
\Delta p_2 = m_2(v_2-u_2) = 0,006\cdot(6{,}5 - (-7{,}5)) = 0,006\cdot 14 = 0,084\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Significado: o momento da partícula 2 aumentou em 0,084\\ \mathrm{kg\cdot m/s}, no sentido positivo (para a direita).
Verificação rápida (conservação do momento): \Delta p_1 + \Delta p_2 = -0,084 + 0,084 = 0, compatível com conservação do momento total.

Resposta

\Delta p_1 = -0,084\\ \mathrm{kg\cdot m/s}
\Delta p_2 = +0,084\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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