Uma partícula de 12 g move-se a
3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
, para a direita na direção de uma outra que tem 6 g e uma velocidade de
7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
para a esquerda. Determine a variação de momento linear de cada partícula após ter ocorrido uma colisão frontal, perfeitamente elástica.
3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
, para a direita na direção de uma outra que tem 6 g e uma velocidade de
7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
para a esquerda. Determine a variação de momento linear de cada partícula após ter ocorrido uma colisão frontal, perfeitamente elástica.
Passo 1
O enunciado fornece claramente os seguintes dados e pede uma coisa específica.
-
Dados:
- Massa da partícula 1:
. - Massa da partícula 2:
. - Velocidade inicial da partícula 1:
para a direita. - Velocidade inicial da partícula 2:
para a esquerda.
Observação sobre sinais (convenção): vou tomar a direção para a direita como positiva. Assim a velocidade deé e a da é . - Massa da partícula 1:
-
O que se pede:
- Determinar a variação do momento linear (isto é,
) de cada partícula após a colisão frontal, perfeitamente elástica.
- Determinar a variação do momento linear (isto é,
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
- Momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula:
. Aqui é a massa e a velocidade (com seu sinal). A variação do momento é
-
Colisão frontal perfeitamente elástica em uma dimensão: aplicam-se duas leis de conservação fundamentais simultaneamente:
- Conservação do momento linear:
ondesão velocidades iniciais e as finais.
2. Conservação da energia cinética: -
Uma consequência útil (que vamos demonstrar) para colisão elástica em 1D é que a velocidade relativa inverte de sinal:
Isto significa que as partículas, relativas entre si, “trocam” a velocidade relativa (a rapidez relativa antes passa a ter sentido contrário depois).
Passo 3
Derivação da relação
de forma simples e direta.
Partimos das duas equações de conservação. Subtrai-se a equação de energia pela forma que elimina os fatores
e reescreve-se como diferença de quadrados:
Fatorando cada diferença de quadrados
:
A equação de conservação do momento pode ser reescrita isolando uma combinação:
Agora podemos usar essa relação para substituir
na equação de energia fatorada:
Note que
. Ao simplificar os sinais e dividir por
obtém-se
Em colisão não-trivial a segunda fatoração não é zero em geral, então a relação que fica é
A opção correta (para colisão elástica entre corpos diferentes) leva à equivalência
Reorganizando:
Esta é a relação do “par de velocidades relativas” invertido.
Passo 4
Resolver o sistema usando a relação relativa junto com conservação do momento para obter fórmulas explícitas para
e
.
Da relação relativa temos
Substituindo na conservação do momento
Agrupando termos em
:
Isolando
:
De modo análogo (ou trocando índices) obtém-se
Essas fórmulas são as fórmulas padrão para colisão elástica 1D — e acabamos de deduzi-las.
Passo 5
Aplicar aos números do problema. Primeiro passar as massas para o SI:
-
. -
.
As velocidades iniciais, com a convenção escolhida, são
Calcule
usando a fórmula:
Substituindo os números:
Logo os coeficientes são
Então
Interpretando: a partícula 1 passa a mover-se para a esquerda com velocidade
.
Agora
:
Os coeficientes são
Logo
Interpretação: a partícula 2 passa a mover-se para a direita com
.
Passo 6
Calcular a variação do momento de cada partícula usando
.
Para a partícula 1:
Significado: o momento da partícula 1 diminuiu em
; o sinal negativo indica que houve uma variação no sentido negativo (para a esquerda).
Para a partícula 2:
Significado: o momento da partícula 2 aumentou em
, no sentido positivo (para a direita).
Verificação rápida (conservação do momento):
, compatível com conservação do momento total.