O. 8 Uma balança de mola para massa de 0 até
possui uma escala com 40 cm de comprimento. Um pacote suspenso nesta balança oscila verticalmente com uma frequência de
. (a) Qual é a constante da mola? (b) Qual é o peso do pacote?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- A balança tem escala que vai de
até cobrindo um comprimento de . - Um pacote pendurado nessa balança oscila verticalmente com frequência
.
- A balança tem escala que vai de
- O que o enunciado pergunta:
- (a) Qual é a constante da mola?
- (b) Qual é o peso do pacote?
Observação importante (pegando do enunciado): a escala de
corresponde à deflexão (extensão) da mola quando a massa de
está suspensa. Vou usar essa informação para achar a constante da mola pela lei de Hooke em equilíbrio estático, e depois usar a frequência de oscilação para encontrar a massa do pacote e, a partir daí, seu peso.
Passo 2
Conceito 1 (Lei de Hooke e equilíbrio estático): a mola obedece à lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional à deformação:
onde
é a constante da mola (unidade
) e
é a deformação (extensão) em metros. Em equilíbrio estático com uma massa
suspensa, a força elástica equilibra o peso
, ou seja:
Dessa igualdade segue a expressão útil para calcular
:
Passo 3
Aplicando o equilíbrio usando a massa máxima indicada pela escala:
- Converter
para metros: . - Tomar
(valor padrão). - Usar
e na fórmula .
Calculemos passo a passo:
Passo 4
Interpretando o resultado do passo anterior: a constante da mola é
. Vou apresentar isso com uma notação conveniente e com algarismos significativos razoáveis:
Passo 5
Conceito 2 (Oscilador harmônico simples): a frequência de oscilação de uma massa
presa a uma mola com constante
é dada por
onde
é a frequência em hertz. Essa fórmula vem da solução da equação do movimento harmônico simples. Para encontrar a massa
a partir de
e
, isolamos
:
Passo 6
Usar
obtido no passo 4 e
para obter a massa do pacote.
Calculemos:
Passo 7
Agora achamos o peso do pacote. O peso
é a força-gravidade
. Usando
e
:
Arredondando com uma precisão razoável (dados do enunciado têm cerca de 2–3 algarismos significativos), podemos apresentar:
Resposta
(a)
(b)
(b)