O. 8 Uma balança de mola para massa de 0 até 14,5 \mathrm{~kg} possui uma escala com 40 cm de comprimento. Um pacote suspenso nesta balança oscila verticalmente com uma frequência de 2,0 \mathrm{~Hz}. (a) Qual é a constante da mola? (b) Qual é o peso do pacote?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • A balança tem escala que vai de 0 até 14,5\\ \mathrm{kg} cobrindo um comprimento de 40\\ \mathrm{cm}.
    • Um pacote pendurado nessa balança oscila verticalmente com frequência 2,0\\ \mathrm{Hz}.
  • O que o enunciado pergunta:
    • (a) Qual é a constante da mola?
    • (b) Qual é o peso do pacote?
Observação importante (pegando do enunciado): a escala de 40\\ \mathrm{cm} corresponde à deflexão (extensão) da mola quando a massa de 14,5\\ \mathrm{kg} está suspensa. Vou usar essa informação para achar a constante da mola pela lei de Hooke em equilíbrio estático, e depois usar a frequência de oscilação para encontrar a massa do pacote e, a partir daí, seu peso.

Passo 2

Conceito 1 (Lei de Hooke e equilíbrio estático): a mola obedece à lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional à deformação:
F_{\text{el}} = k x,
onde k é a constante da mola (unidade \mathrm{N/m}) e x é a deformação (extensão) em metros. Em equilíbrio estático com uma massa m suspensa, a força elástica equilibra o peso mg, ou seja:
k x = m g.
Dessa igualdade segue a expressão útil para calcular k:
k = \frac{m g}{x}.

Passo 3

Aplicando o equilíbrio usando a massa máxima indicada pela escala:
  • Converter 40\\ \mathrm{cm} para metros: 40\\ \mathrm{cm}=0,40\\ \mathrm{m}.
  • Tomar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor padrão).
  • Usar m=14,5\\ \mathrm{kg} e x=0,40\\ \mathrm{m} na fórmula k=\dfrac{m g}{x}.
Calculemos passo a passo:
m g = 14,5\times9,8 = 142,1\\ \mathrm{N}.
k = \frac{142,1}{0,40}=355,25\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Interpretando o resultado do passo anterior: a constante da mola é k\approx355,25\\ \mathrm{N/m}. Vou apresentar isso com uma notação conveniente e com algarismos significativos razoáveis:
k \approx 3,55\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 5

Conceito 2 (Oscilador harmônico simples): a frequência de oscilação de uma massa m presa a uma mola com constante k é dada por
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}},
onde f é a frequência em hertz. Essa fórmula vem da solução da equação do movimento harmônico simples. Para encontrar a massa m a partir de f e k, isolamos m:
m = \frac{k}{(2\pi f)^{2}}.

Passo 6

Usar k obtido no passo 4 e f=2,0\\ \mathrm{Hz} para obter a massa do pacote.
Calculemos:
2\pi f = 2\pi\times2,0 = 4\pi,
(2\pi f)^{2} = (4\pi)^{2}=16\pi^{2}\approx16\times9,8696\approx157,91.
m = \frac{355,25}{157,91}\approx2,249\\ \mathrm{kg}.

Passo 7

Agora achamos o peso do pacote. O peso W é a força-gravidade W=mg. Usando m\approx2,249\\ \mathrm{kg} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
W = m g \approx 2,249\times9,8 \approx22,04\\ \mathrm{N}.
Arredondando com uma precisão razoável (dados do enunciado têm cerca de 2–3 algarismos significativos), podemos apresentar:
k \approx 3,55\times10^{2}\\ \mathrm{N/m},\qquad W \approx 22,0\\ \mathrm{N}.

Resposta

(a) k \approx 3,55\times10^{2}\\ \mathrm{N/m}
(b) W \approx 22,0\\ \mathrm{N}

Exercícios relacionados