ISR A Fig 22 mostra um astronauta num BMMD (“Body Mass Measuring Device” - Dispositivo Medidor da Massa de um Corpo). Projetado para ser usado numa estação orbital, tem por objetivo possibilitar a medida da massa do astronauta em condições de imponderabilidade. O dispositivo BMMD consiste numa cadeira montada sobre molas; o astronauta mede o período das oscilações quando está na cadeira; a massa pode ser determinada pela fórmula do periodo num sistema oscilante massamola. (a) Sendo M a massa do astronauta e m a massa efetiva do próprio sistema BMMD que oscila, mostre que
M=\cdot\left(k / 4 \pi^{2}\right) T^{2}-m,

Passo 1

O enunciado pede que se mostre uma fórmula que relaciona a massa do astronauta M com o período T medido no aparelho BMMD. As informações dadas são:
  • M é a massa do astronauta (a encontrar).
  • m é a massa efetiva do próprio sistema BMMD que também participa da oscilação (já conhecida).
  • k é a constante elástica (rigidez) da mola do BMMD (já conhecida).
  • T é o período das oscilações medidas quando o astronauta está na cadeira.
    O objetivo é demonstrar a expressão
M=\left(\frac{k}{4\pi^{2}}\right)T^{2}-m.

Passo 2

Entender o modelo físico e as leis que vão ser usadas:
  • Para pequenas oscilações a mola obedece à lei de Hooke: a força restauradora é proporcional ao deslocamento e dirigida para o equilíbrio. Em notação matemática isso é
F_{el}=-k x,
onde x é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e k é a constante da mola.
  • A segunda lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa total que oscila multiplicada pela aceleração:
F_{\text{res}}=(\text{massa total})\ddot{x}.
No nosso caso a massa total que participa da oscilação é a soma da massa do astronauta M com a massa efetiva do aparelho m, ou seja (M+m).

Passo 3

Escrever a equação de movimento unindo Hooke e Newton:
a força restauradora da mola é a única força que causa a aceleração (supondo amortecimento desprezível), portanto
(M+m)\ddot{x} = -k x.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com sinal negativo que caracteriza um movimento harmônico simples.

Passo 4

Resolver a equação de movimento para obter a frequência angular:
a equação
(M+m)\ddot{x} + k x = 0
tem solução oscilatória do tipo x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde a frequência angular \omega satisfaz
\omega^{2}=\frac{k}{M+m}.
Isso vem diretamente substituindo a solução candidata na equação diferencial e igualando os coeficientes.

Passo 5

Relacionar a frequência angular com o período e isolar M:
a relação entre período T e frequência angular \omega é
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega da etapa anterior obtemos
T=2\pi\sqrt{\frac{M+m}{k}}.
Agora elevando ao quadrado:
T^{2}=4\pi^{2}\frac{M+m}{k}.
Isolando M+m:
M+m=\frac{k}{4\pi^{2}}\,T^{2}.
Finalmente subtraindo m dos dois lados para obter M:
M=\left(\frac{k}{4\pi^{2}}\right)T^{2}-m.

Passo 6

Verificação rápida de consistência de unidades e interpretação:
  • Unidade: k tem unidades \mathrm{N/m}=\mathrm{kg\,s^{-2}}; multiplicando por T^{2} (unidade \mathrm{s^{2}}) dá \mathrm{kg}, portanto o termo \left(\dfrac{k}{4\pi^{2}}\right)T^{2} tem unidade de massa, como esperado; subtrair m (massa) é coerente.
  • Interpretação: a massa determinada pela medida do período é a massa total efetiva menos a massa do dispositivo; é por isso que o aparelho inclui o termo m.

Resposta

M=\left(\frac{k}{4\pi^{2}}\right)T^{2}-m

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