ISR A Fig 22 mostra um astronauta num BMMD (“Body Mass Measuring Device” - Dispositivo Medidor da Massa de um Corpo). Projetado para ser usado numa estação orbital, tem por objetivo possibilitar a medida da massa do astronauta em condições de imponderabilidade. O dispositivo BMMD consiste numa cadeira montada sobre molas; o astronauta mede o período das oscilações quando está na cadeira; a massa pode ser determinada pela fórmula do periodo num sistema oscilante massamola. (a) Sendo
a massa do astronauta e
a massa efetiva do próprio sistema BMMD que oscila, mostre que
Passo 1
O enunciado pede que se mostre uma fórmula que relaciona a massa do astronauta
com o período
medido no aparelho BMMD. As informações dadas são:
-
é a massa do astronauta (a encontrar). -
é a massa efetiva do próprio sistema BMMD que também participa da oscilação (já conhecida). -
é a constante elástica (rigidez) da mola do BMMD (já conhecida). -
é o período das oscilações medidas quando o astronauta está na cadeira.
O objetivo é demonstrar a expressão
Passo 2
Entender o modelo físico e as leis que vão ser usadas:
- Para pequenas oscilações a mola obedece à lei de Hooke: a força restauradora é proporcional ao deslocamento e dirigida para o equilíbrio. Em notação matemática isso é
onde
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e
é a constante da mola.
- A segunda lei de Newton diz que a força resultante é igual à massa total que oscila multiplicada pela aceleração:
No nosso caso a massa total que participa da oscilação é a soma da massa do astronauta
com a massa efetiva do aparelho
, ou seja
.
Passo 3
Escrever a equação de movimento unindo Hooke e Newton:
a força restauradora da mola é a única força que causa a aceleração (supondo amortecimento desprezível), portanto
a força restauradora da mola é a única força que causa a aceleração (supondo amortecimento desprezível), portanto
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com sinal negativo que caracteriza um movimento harmônico simples.
Passo 4
Resolver a equação de movimento para obter a frequência angular:
a equação
a equação
tem solução oscilatória do tipo
, onde a frequência angular
satisfaz
Isso vem diretamente substituindo a solução candidata na equação diferencial e igualando os coeficientes.
Passo 5
Relacionar a frequência angular com o período e isolar
:
a relação entre período e frequência angular
é
a relação entre período
Substituindo
da etapa anterior obtemos
Agora elevando ao quadrado:
Isolando
:
Finalmente subtraindo
dos dois lados para obter
:
Passo 6
Verificação rápida de consistência de unidades e interpretação:
- Unidade:
tem unidades ; multiplicando por (unidade ) dá , portanto o termo tem unidade de massa, como esperado; subtrair (massa) é coerente. - Interpretação: a massa determinada pela medida do período é a massa total efetiva menos a massa do dispositivo; é por isso que o aparelho inclui o termo
.