(Balanço de massa): Uma refinaria mistura três tipos de combustíveis (A, B e C) para obter 1000 litros de uma mistura final que deve conter 25 \% de um aditivo específico. O combustível A tem 10 \% do aditivo, B tem 20 \% e C tem 40 \%. Sabe-se que a quantidade de A deve ser o dobro da de B .
\left\{\begin{array}{cl} A+B+C=1000 & \text { (Volume Total) } \\\\ 0,10 A+0,20 B+0,40 C=250 & \text { (Quantidade de aditivo } \\\ A-2 B=0 & \text { (Proporção entre A e B) } \end{array}\right.
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema pede e quais dados ele fornece.
O que o enunciado pede: determinar quantos litros de cada combustível A\), \(B\) e \(C\) devem ser misturados para obter \(1000\) litros de mistura contendo \(25\%\) de aditivo, sabendo que a quantidade de \(A\) é o dobro da de \(B\).
- Informações / equações fornecidas:
\[\begin{cases} A + B + C = 1000 & \text{(volume total)}\\[4pt] 0,10A + 0,20B + 0,40C = 250 & \text{(quantidade total de aditivo)}\\[4pt] A - 2B = 0 & \text{(proporção \(A=2B)} \end{cases}]
Observação numérica importante: 25\% de 1000 litros é 250 litros de aditivo — por isso o lado direito da segunda equação é 250.]
Passo 2
Definindo claramente as variáveis e preparando as equações para resolver:
Variáveis:
A: litros do combustível A;
B: litros do combustível B;
C: litros do combustível C.
Já temos as três equações acima. Uma maneira simples de resolver é usar substituição, porque a terceira equação dá A em função de B de forma direta: A=2B. Substituir essa relação nas outras duas equações reduz o número de incógnitas e facilita os cálculos sem precisar de calculadora.
Passo 3
Usar A=2B e substituir na equação do volume total para escrever C em função de B.
Substituindo A=2B em A+B+C=1000:2B + B + C = 1000.
Agrupando termos:3B + C = 1000.
Isolando C:C = 1000 - 3B.
Agora A e C estão expressos em função de B: A=2B e C=1000-3B.
Passo 4
Substituir A=2B e C=1000-3B na equação do aditivo e resolver para B. Vou mostrar cada conta devagar para você conseguir reproduzir na prova.
A equação do aditivo é
0,10A + 0,20B + 0,40C = 250.
Substituindo A=2B e C=1000-3B:
0,10(2B) + 0,20B + 0,40(1000 - 3B) = 250.
Passo 5
Desenvolver a expressão anterior passo a passo:
Primeiro multiplico os parênteses:0,10(2B) = 0,20B, \qquad 0,40(1000 - 3B) = 0,40\cdot1000 - 0,40\cdot3B = 400 - 1,20B.
Somando os termos em B:(0,20 + 0,20 - 1,20)B + 400 = 250.
(-0,80)B + 400 = 250.
Isolando B:(-0,80)B = 250 - 400 = -150.
B = \frac{-150}{-0,80} = \frac{150}{0,80}.
Fazendo a divisão (sem usar calculadora: multiplica numerador e denominador por 10 ou transforma em fração):B = \frac{150}{0,80} = \frac{150}{\tfrac{8}{10}} = 150\cdot\frac{10}{8} = 150\cdot\frac{5}{4} = 150\cdot1,25 = 187,5.
Portanto B = 187,5 litros.
Passo 6
Calcular A e C a partir de B:
Como A=2B:A = 2\cdot187,5 = 375.
Como C = 1000 - 3B:C = 1000 - 3\cdot187,5 = 1000 - 562,5 = 437,5.
Assim obtemos A=375 litros, B=187,5 litros, C=437,5 litros.
Passo 7
Verificação rápida (sempre verifique na prova; isso pega erros de conta):
Volume total: 375 + 187,5 + 437,5 = 1000 — ok.
Quantidade de aditivo:0,10\cdot375 + 0,20\cdot187,5 + 0,40\cdot437,5
=37,5 + 37,5 + 175 = 250,
que é exatamente os 250 litros esperados — ok.
Bom trabalho — a conta fechou certinho! Dica rápida para a prova: sempre transforme porcentagens em números decimais (ou frações) antes de somar; se tiver uma relação simples entre variáveis (como A=2B), aproveite para usar substituição e reduzir o sistema.