Q15: Seja p um polinômio do segundo grau. Sabendo que (-1,-1),(0,2) e (1,1) pertencem ao gráfico de y=p(x), assinale o valor de y=p(2).
(A) -2
(B) -4
(C) -5
(D) -3
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos que pertencem ao gráfico de uma parábola (polinômio de segundo grau) e pede o valor de y=p(2). Pontos fornecidos:
  • (-1,-1)
  • (0,2)
  • (1,1)
O que se pede: calcular p(2), ou seja, o valor do polinômio no ponto x=2.

Passo 2

Modelo geral de um polinômio de segundo grau: escrevemos
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a,b,c são números reais desconhecidos (coeficiente quadrático a, coeficiente linear b e termo constante c). Cada ponto (x,y) fornece uma equação ao substituir x e y em p(x)=y.

Passo 3

Usar os três pontos para montar três equações. Substituindo cada ponto em p(x)=ax^{2}+bx+c:
Para (0,2):
p(0)=a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=c=2.
Para (1,1):
p(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=a+b+c=1.
Para (-1,-1):
p(-1)=a\cdot(-1)^{2}+b\cdot(-1)+c=a-b+c=-1.

Passo 4

A equação c=2 deu c imediatamente. Substituir c=2 nas equações restantes:
De a+b+c=1 obtemos
a+b+2=1\quad\Rightarrow\quad a+b=-1.
De a-b+c=-1 obtemos
a-b+2=-1\quad\Rightarrow\quad a-b=-3.
Agora temos o sistema linear em a e b:
\begin{cases} a+b=-1,\\[4pt] a-b=-3. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para a e b. Soma das duas equações:
(a+b)+(a-b)= -1+(-3)\quad\Rightarrow\quad 2a=-4\quad\Rightarrow\quad a=-2.
Agora usar a+b=-1 para achar b:
-2+b=-1\quad\Rightarrow\quad b=1.

Passo 6

Já temos todos os coeficientes: a=-2, b=1, c=2. Portanto o polinômio é
p(x)=-2x^{2}+x+2.

Passo 7

Calcular p(2) substituindo x=2:
p(2)=-2\cdot2^{2}+1\cdot2+2=-2\cdot4+2+2=-8+4=-4.

Resposta

(B) -4

Exercícios relacionados