Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superficie \left(S=4 \pi r^{2}\right) em relação ao raio r quando r é 40 cm

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que vem do enunciado):
  • Pede “a taxa de crescimento da área da superfície em relação ao raio” quando o raio é 40\\ \mathrm{cm}.
  • A fórmula da área da superfície de um balão esférico foi dada: S = 4\pi r^{2}.
  • Valor do raio fornecido: r=40\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Entendendo o que é “taxa de crescimento da área em relação ao raio”.
  • Quando o enunciado fala em “taxa de crescimento de S em relação a r”, isso significa a derivada de S em relação a r, escrita \dfrac{dS}{dr}.
  • Intuição rápida: \dfrac{dS}{dr} diz quanto a área S aumenta (em unidades de área) quando o raio r aumenta uma pequena quantidade (em unidades de comprimento). As unidades de \dfrac{dS}{dr} são área por comprimento (por exemplo, \mathrm{cm}^2/\mathrm{cm}, que simplifica para \mathrm{cm} mas é melhor manter \mathrm{cm}^2/\mathrm{cm} para evitar confusão).

Passo 3

Revisão da regra de derivação que vamos usar (explicação didática).
  • Regra do fator constante: se k é constante e f(r) é função, então \dfrac{d}{dr}\big(k\cdot f(r)\big)=k\cdot f'(r).
  • Regra do poder (power rule): para qualquer expoente real n, \dfrac{d}{dr}\big(r^{n}\big)=n\,r^{n-1}.
  • Aqui 4\pi é uma constante (porque \pi é constante) e a parte que depende de r é r^{2}. Então aplicamos as duas regras: fator constante e power rule.

Passo 4

Aplicando a derivada à fórmula dada passo a passo.
  • A função é S(r)=4\pi r^{2}.
  • Tirando a derivada em relação a r:
\frac{dS}{dr} = 4\pi \cdot \frac{d}{dr}\big(r^{2}\big).
  • Pela regra do poder,
\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=2r.
  • Logo
\frac{dS}{dr}=4\pi \cdot 2r = 8\pi r.
Isto é uma fórmula geral: para qualquer raio r, a taxa de crescimento da área em relação ao raio é \dfrac{dS}{dr}=8\pi r.

Passo 5

Avaliar a taxa no raio pedido r=40\\ \mathrm{cm} (contas claras).
  • Usando a fórmula \dfrac{dS}{dr}=8\pi r, substitui-se r=40\\ \mathrm{cm}:
\frac{dS}{dr}\Bigg|_{r=40\\ \mathrm{cm}} = 8\pi \cdot 40.
  • Calcule 8\cdot 40:
8\cdot 40 = 320,
portanto
\frac{dS}{dr}\Bigg|_{r=40\\ \mathrm{cm}} = 320\pi.
  • Unidades: como S está em \mathrm{cm}^{2} e r em \mathrm{cm}, a unidade de \dfrac{dS}{dr} é \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{cm}. Escrevendo isso,
\frac{dS}{dr}\Bigg|_{r=40\\ \mathrm{cm}} = 320\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{cm}.
  • Interpretação numérica rápida (opcional mas útil): 320\pi\approx 1005{,}31, ou seja, no instante em que o raio é 40\\ \mathrm{cm}, um aumento pequeno de 1\\ \mathrm{cm} no raio aumentaria a área em aproximadamente 1005{,}31\\ \mathrm{cm}^{2}.

Resposta

\dfrac{dS}{dr}\Big|_{r=40\\ \mathrm{cm}}=320\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{cm}

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