Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superficie
em relação ao raio
quando
é 40 cm
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que vem do enunciado):
- Pede “a taxa de crescimento da área da superfície em relação ao raio” quando o raio é
. - A fórmula da área da superfície de um balão esférico foi dada:
. - Valor do raio fornecido:
.
Passo 2
Entendendo o que é “taxa de crescimento da área em relação ao raio”.
- Quando o enunciado fala em “taxa de crescimento de
em relação a ”, isso significa a derivada de em relação a , escrita . - Intuição rápida:
diz quanto a área aumenta (em unidades de área) quando o raio aumenta uma pequena quantidade (em unidades de comprimento). As unidades de são área por comprimento (por exemplo, , que simplifica para mas é melhor manter para evitar confusão).
Passo 3
Revisão da regra de derivação que vamos usar (explicação didática).
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então . - Regra do poder (power rule): para qualquer expoente real
, . - Aqui
é uma constante (porque é constante) e a parte que depende de é . Então aplicamos as duas regras: fator constante e power rule.
Passo 4
Aplicando a derivada à fórmula dada passo a passo.
- A função é
. - Tirando a derivada em relação a
:
- Pela regra do poder,
- Logo
Isto é uma fórmula geral: para qualquer raio
, a taxa de crescimento da área em relação ao raio é
.
Passo 5
Avaliar a taxa no raio pedido
(contas claras).
- Usando a fórmula
, substitui-se :
- Calcule
:
portanto
- Unidades: como
está em e em , a unidade de é . Escrevendo isso,
- Interpretação numérica rápida (opcional mas útil):
, ou seja, no instante em que o raio é , um aumento pequeno de no raio aumentaria a área em aproximadamente .