Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superficie \left(S=4 \pi r^{2}\right) em relação ao raio r quando r é 60 cm .
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a taxa de crescimento da área da superfície S em relação ao raio r quando r é 60\\ \text{cm}.”
Informações dadas:
A fórmula da área da superfície de uma esfera é S=4\pi r^{2}.
Queremos a taxa de crescimento de S em relação a r, ou seja a derivada \dfrac{dS}{dr}.
O valor do raio onde devemos avaliar essa taxa é r=60\\ \text{cm}.
Passo 2
Entendendo a fórmula e as variáveis (rapidinho e sem complicar):
S é a área da superfície da esfera, medida em \text{cm}^{2}.
r é o raio da esfera, medido em \text{cm}.
A expressão S=4\pi r^{2} significa que a área cresce com o quadrado do raio, multiplicada pela constante 4\pi.
Passo 3
Como calcular uma taxa de crescimento “da área em relação ao raio”:
Matemática básica de taxas: a taxa de crescimento de S em relação a r é a derivada \dfrac{dS}{dr}. Isso mede quanto S varia quando r varia um pouquinho.
Regras de derivação que vamos usar:
Regra do fator constante: se c é constante e f(r) função, então \dfrac{d}{dr}\big(c\cdot f(r)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dr}f(r).
Regra do poder (power rule): para f(r)=r^{n}, vale \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}.
Aplicando essas regras é direto: 4\pi é constante; r^{2} é uma potência com n=2.
Passo 4
Calcular a derivada passo a passo:
Começo com S=4\pi r^{2}.
Uso a regra do fator constante para tirar 4\pi fora da derivada e a regra do poder para derivar r^{2}:
Explicando: o 2 vem do expoente, e o r fica reduzido para r^{1}. O 4\pi só multiplicou tudo.
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto pedido r=60\\ \text{cm}:
Substituindo r=60 em \dfrac{dS}{dr}=8\pi r:
\left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=60}=8\pi\cdot 60.
Calcule 8\cdot 60:
8\cdot 60=480,
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\left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=60}=480\pi.
Passo 6
Interpretação e unidades (importante para a prova):
A unidade de S é \text{cm}^{2} e de r é \text{cm}. Então a unidade de \dfrac{dS}{dr} é \dfrac{\text{cm}^{2}}{\text{cm}}=\text{cm}.
Isso significa que, por cada aumento de 1\\ \text{cm} no raio (quando r está perto de 60\\ \text{cm}), a área da superfície aumenta em aproximadamente 480\pi\\ \text{cm}^{2}. (Nota: dizer “cm” ou “cm^{2}/cm” é equivalente; normalmente escreve-se \text{cm}^{2} por aumento unitário de r.)