Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento da área da superficie \left(S=4 \pi r^{2}\right) em relação ao raio r quando r é 60 cm .

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a taxa de crescimento da área da superfície S em relação ao raio r quando r é 60\\ \text{cm}.”
Informações dadas:
  • A fórmula da área da superfície de uma esfera é S=4\pi r^{2}.
  • Queremos a taxa de crescimento de S em relação a r, ou seja a derivada \dfrac{dS}{dr}.
  • O valor do raio onde devemos avaliar essa taxa é r=60\\ \text{cm}.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as variáveis (rapidinho e sem complicar):
  • S é a área da superfície da esfera, medida em \text{cm}^{2}.
  • r é o raio da esfera, medido em \text{cm}.
  • A expressão S=4\pi r^{2} significa que a área cresce com o quadrado do raio, multiplicada pela constante 4\pi.

Passo 3

Como calcular uma taxa de crescimento “da área em relação ao raio”:
  • Matemática básica de taxas: a taxa de crescimento de S em relação a r é a derivada \dfrac{dS}{dr}. Isso mede quanto S varia quando r varia um pouquinho.
  • Regras de derivação que vamos usar:
    • Regra do fator constante: se c é constante e f(r) função, então \dfrac{d}{dr}\big(c\cdot f(r)\big)=c\cdot \dfrac{d}{dr}f(r).
    • Regra do poder (power rule): para f(r)=r^{n}, vale \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}.
  • Aplicando essas regras é direto: 4\pi é constante; r^{2} é uma potência com n=2.

Passo 4

Calcular a derivada passo a passo:
  • Começo com S=4\pi r^{2}.
  • Uso a regra do fator constante para tirar 4\pi fora da derivada e a regra do poder para derivar r^{2}:
\frac{dS}{dr}=4\pi\cdot\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big).
\frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=2r,
portanto
\frac{dS}{dr}=4\pi\cdot 2r=8\pi r.
Explicando: o 2 vem do expoente, e o r fica reduzido para r^{1}. O 4\pi só multiplicou tudo.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto pedido r=60\\ \text{cm}:
  • Substituindo r=60 em \dfrac{dS}{dr}=8\pi r:
\left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=60}=8\pi\cdot 60.
  • Calcule 8\cdot 60:
8\cdot 60=480,
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\left.\frac{dS}{dr}\right|_{r=60}=480\pi.

Passo 6

Interpretação e unidades (importante para a prova):
  • A unidade de S é \text{cm}^{2} e de r é \text{cm}. Então a unidade de \dfrac{dS}{dr} é \dfrac{\text{cm}^{2}}{\text{cm}}=\text{cm}.
  • Isso significa que, por cada aumento de 1\\ \text{cm} no raio (quando r está perto de 60\\ \text{cm}), a área da superfície aumenta em aproximadamente 480\pi\\ \text{cm}^{2}. (Nota: dizer “cm” ou “cm^{2}/cm” é equivalente; normalmente escreve-se \text{cm}^{2} por aumento unitário de r.)
  • Se quiser uma aproximação numérica rápida:
480\pi\approx 480\cdot 3{,}14159\approx 1507{,}96.
Então a taxa aproximada é 1507{,}96\\ \text{cm}^{2} de área por \text{cm} de raio — ó, escrevendo de forma clara: 1507{,}96\\ \text{cm}^{2}/\text{cm}.

Resposta

480\pi\\ \text{cm}

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