Um balão de ar quente, com a forma aproximada de uma esfera de 50 pés de diâmetro, deve levantar um certo de carga de 600 lbf. Considere atmosfera padrão, diâmetro do balão de 50 ft e carga de peso do balão
. Temperatura
e pressão absoluta de
(14,696 psi). Calcular até que temperatura, em
, o ar deve ser aquecido de modo a possibilitar a decolagem?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos um balão de ar quente que é praticamente uma esfera com 50 pés de diâmetro. Ele precisa levantar uma carga de 600 lbf (libras-força). As condições dadas são: temperatura de 150°C (que é bem quente) e uma pressão atmosférica padrão de 101,3 kPa (ou 14,696 psi). Nosso objetivo é descobrir até que temperatura, em graus Fahrenheit, o ar dentro do balão precisa ser aquecido para que ele consiga decolar. Para isso, vamos usar conceitos de sustentação por empuxo e a lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Como ele é uma esfera, usamos a fórmula do volume de uma esfera:
Sabendo que o diâmetro é de 50 pés, o raio $ r $ será metade disso:
Então,
Passo 3
Agora, vamos entender a força de sustentação que o balão precisa gerar para levantar a carga de 600 lbf. A sustentação $ F $ é dada pela diferença entre o peso do ar externo e o peso do ar quente dentro do balão, multiplicada pelo volume:
Queremos que essa força seja igual a 600 lbf:
Passo 4
Vamos encontrar a densidade do ar externo ($ \rho_{ar externo} $). Em condições padrão, a densidade do ar é aproximadamente:
Passo 5
Agora, rearranjamos a equação para encontrar a densidade do ar interno ($ \rho_{ar interno} $):
Substituindo $ V \approx 65449 pés cúbicos $:
Passo 6
Para relacionar a densidade do ar interno com a temperatura, usamos a lei dos gases ideais simplificada:
Onde:
- $ P $ é a pressão (vamos manter como 14,696 psi, já que a pressão não muda),
- $ R $ é a constante específica do ar,
- $ T $ é a temperatura em Rankine.
Rearranjando para encontrar a temperatura interna $ T_{interno} $:
Passo 7
Primeiro, precisamos converter a densidade para unidades compatíveis. Sabendo que $ R = 53,35 ft.lbf/(lbm·R) $ para o ar:
Mas isso parece muito baixo, então vamos verificar se fizemos as conversões corretas.
Passo 8
Na verdade, a densidade do ar em lbf/ft³ não está diretamente relacionada à temperatura em Rankine dessa forma. Vamos utilizar a relação direta entre densidade e temperatura mantendo a pressão constante:
Rearranjando para $ T_{interno} $:
Passo 9
Primeiro, precisamos converter a temperatura externa de 150°C para Rankine, já que a relação envolve temperaturas absolutes:
Agora, substituindo na equação:
Passo 10
Por fim, vamos converter a temperatura interna de Rankine para Fahrenheit:
Resposta
O ar dentro do balão precisa ser aquecido até aproximadamente 407 °F para possibilitar a decolagem.