Um balão de ar quente, com a forma aproximada de uma esfera de 50 pés de diâmetro, deve levantar um certo de carga de 600 lbf. Considere atmosfera padrão, diâmetro do balão de 50 ft e carga de peso do balão W carga =600 lbf. Temperatura 150 C(59 ^circ=5190 F) e pressão absoluta de 101,3 kPa (14,696 psi). Calcular até que temperatura, em stackrelcirc F, o ar deve ser aquecido de modo a possibilitar a decolagem?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! Temos um balão de ar quente que é praticamente uma esfera com 50 pés de diâmetro. Ele precisa levantar uma carga de 600 lbf (libras-força). As condições dadas são: temperatura de 150°C (que é bem quente) e uma pressão atmosférica padrão de 101,3 kPa (ou 14,696 psi). Nosso objetivo é descobrir até que temperatura, em graus Fahrenheit, o ar dentro do balão precisa ser aquecido para que ele consiga decolar. Para isso, vamos usar conceitos de sustentação por empuxo e a lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Como ele é uma esfera, usamos a fórmula do volume de uma esfera:
V = 43 pi r^3
Sabendo que o diâmetro é de 50 pés, o raio $ r $ será metade disso:
r é
Então,
r = 502 = 25 pés éú

Passo 3

Agora, vamos entender a força de sustentação que o balão precisa gerar para levantar a carga de 600 lbf. A sustentação $ F $ é dada pela diferença entre o peso do ar externo e o peso do ar quente dentro do balão, multiplicada pelo volume:
F
Queremos que essa força seja igual a 600 lbf:
F = V times (rhoar externo - rhoar interno)

Passo 4

Vamos encontrar a densidade do ar externo ($ \rho_{ar externo} $). Em condições padrão, a densidade do ar é aproximadamente:
rhoar externo

Passo 5

Agora, rearranjamos a equação para encontrar a densidade do ar interno ($ \rho_{ar interno} $):
rhoar interno
Substituindo $ V \approx 65449 pés cúbicos $:
rhoar interno = rhoar externo - 600V

Passo 6

Para relacionar a densidade do ar interno com a temperatura, usamos a lei dos gases ideais simplificada:
rho = PR times T
Onde:
  • $ P $ é a pressão (vamos manter como 14,696 psi, já que a pressão não muda),
  • $ R $ é a constante específica do ar,
  • $ T $ é a temperatura em Rankine.
Rearranjando para encontrar a temperatura interna $ T_{interno} $:
P

Passo 7

Primeiro, precisamos converter a densidade para unidades compatíveis. Sabendo que $ R = 53,35 ft.lbf/(lbm·R) $ para o ar:
R = 53,35 ftlbf/(lbm·R)
Mas isso parece muito baixo, então vamos verificar se fizemos as conversões corretas.

Passo 8

Na verdade, a densidade do ar em lbf/ft³ não está diretamente relacionada à temperatura em Rankine dessa forma. Vamos utilizar a relação direta entre densidade e temperatura mantendo a pressão constante:
rhoar internorhoar externo = TexternoTinterno
Rearranjando para $ T_{interno} $:
Tinterno

Passo 9

Primeiro, precisamos converter a temperatura externa de 150°C para Rankine, já que a relação envolve temperaturas absolutes:
Texterno = (150 + 273,15) times 95 approx 423,15 times 1,8 approx 761,67 Rankine
Agora, substituindo na equação:
Tinterno = 761,67 times 0,07650,0673 approx 761,67 times 1,137 approx 866,39 Rankine

Passo 10

Por fim, vamos converter a temperatura interna de Rankine para Fahrenheit:
TF = TRankine - 459,67 approx 866,39 - 459,67 approx 406,72^circF

Resposta

O ar dentro do balão precisa ser aquecido até aproximadamente 407 °F para possibilitar a decolagem.

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