- Um balão sobe verticalmente com uma velocidade
e um observador, a certa distância
, vê o balão sob um ângulo de levação
. Ache uma expressão para a taxa
de variação de
em termos de
e
. A que velocidade sobe o balão se
e
, quando
.
Passo 1
O enunciado descreve um balão subindo verticalmente com velocidade constante
. Um observador está a uma distância horizontal fixa
da trajetória do balão e mede o ângulo de elevação
entre a horizontal e a linha de visão até o balão. Queremos (1) achar uma expressão para
em função de
,
e
, e (2) usar essa expressão para determinar
quando
m,
rad/s e
rad.
Passo 2
Vamos chamar de
a altura do balão no instante
. A relação trigonométrica entre
,
e
é
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a
, usando que
e a derivada de
é
, obtemos
Passo 4
Isolando
e lembrando que
, resulta
Passo 5
Para descobrir
no caso numérico, invertemos a fórmula:
Substituindo
m,
rad/s e
(logo
), vem
Resposta
A expressão geral é
e, para
m,
rad/s e
, o balão sobe com velocidade